벡터 함수와 스칼라 함수, 곡선의 방정식, 접선 벡터, 곡선의 길이: 개념 및 계산 방법

스칼라 함수의 조합으로 설명되는 벡터 함수는 공간의 곡선을 나타내며, 그 도함수는 접선 벡터를 나타냅니다.

### 벡터미분법 3: 벡터함수와 곡선의 이해 및 응용

* 📌 **스칼라 함수**는 x, y, z 변수의 함수 결과값이 단일 값 f(x, y, z)로 나타나는 함수이며, **벡터 함수**는 스칼라 함수들을 x, y, z 방향의 단위 벡터로 합쳐 벡터화한 함수 R = (R1, R2, R3)입니다.
* 🧮 벡터 함수의 미분은 각 성분별 스칼라 함수의 미분을 합한 결과이며,  덧셈, 곱셈, 외적에 대한 미분 법칙이 존재합니다. 예를 들어, u × v의 미분은 `du/dt × v + u × dv/dt`입니다.
* 📈 3차원 공간에서 곡선의 방정식은 매개변수 t를 사용하여 r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k로 나타낼 수 있으며, t 값의 변화에 따라 공간상의 곡선을 이룹니다.  직선과 타원을 예시로 설명하며, 타원의 방정식을  `RT 벡터 = a cos t i + b sin t j` 로 표현합니다.
* 🌀 **타원 나선**은 타원 방정식에 z축 성분 ct를 추가하여 3차원 공간에서 표현할 수 있습니다.
* 📍 곡선 상의 한 점에서 접선 벡터 r'(t)는  `r(t + Δt) - r(t) = Δr`에서 Δt를 0으로 한 극한값이며,  크기가 1인 단위 접선 벡터 u는 r'(t)를 크기로 나누어 구합니다.
* 📏 곡선의 길이 s는 t0부터 t까지 접선 벡터의 크기 ‖r'(t)‖를 적분한 값으로 계산되며,  `ds² = dx² + dy² + dz² = dr²` 로 표현됩니다.

09장 벡터미분법 3 (벡터함수와 곡선) : 공업수학

내가 이해한 기계공학 (WIU of Mech)

스칼라 함수와 벡터 함수의 정의 및 미분

스칼라 함수는 변수들의 함수 결과값이 단일 값으로 나오는 함수 (예: f(x, y, z))

벡터 함수는 스칼라 함수를 각 성분별(x, y, z 방향)로 합쳐 벡터화한 함수 (예: R = (R1, R2, R3))

벡터 함수 R(t)의 미분 R'(t)는 각 성분별 스칼라 함수의 미분을 합한 결과

벡터 함수의 미분 법칙: (u+v)' = u'+v', (uv)' = u'v+uv', (u×v)' = u'×v + u×v'

3차원 공간에서 곡선의 방정식은 매개변수 t를 사용하여 r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k로 표현

직선의 방정식 예시: 시작점 a 벡터 + 방향 벡터 b에 매개변수 t를 곱한 값

타원의 방정식 예시: RT 벡터 = a cos t i + b sin t j,  a와 b는 장축과 단축의 길이

타원 나선의 방정식 예시: 3차원 공간에서 z 방향으로 높이가 증가하는 타원

곡선 상의 한 점에서 미소 거리 Δr을 이용하여 접선 벡터 r'(t)를 정의

단위 접선 벡터 u는 접선 벡터를 크기로 나눈 벡터

곡선의 길이 s는 접선 벡터의 크기를 t0부터 t까지 적분한 값

곡선 길이 공식: ds² = dx² + dy² + dz² = ‖r'(t)‖²dt²