벡터 함수와 스칼라 함수, 곡선의 방정식, 접선 벡터, 곡선의 길이: 개념 및 계산 방법

스칼라 함수의 조합으로 설명되는 벡터 함수는 공간의 곡선을 나타내며, 그 도함수는 접선 벡터를 나타냅니다.

### 벡터미분법 3: 벡터함수와 곡선의 이해 및 응용
* 📌 **스칼라 함수**는 x, y, z 변수의 함수 결과값이 단일 값 f(x, y, z)로 나타나는 함수이며, **벡터 함수**는 스칼라 함수들을 x, y, z 방향의 단위 벡터로 합쳐 벡터화한 함수 R = (R1, R2, R3)입니다.
* 🧮 벡터 함수의 미분은 각 성분별 스칼라 함수의 미분을 합한 결과이며,  덧셈, 곱셈, 외적에 대한 미분 법칙이 존재합니다. 예를 들어, u × v의 미분은 `du/dt × v + u × dv/dt`입니다.
* 📈 3차원 공간에서 곡선의 방정식은 매개변수 t를 사용하여 r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k로 나타낼 수 있으며, t 값의 변화에 따라 공간상의 곡선을 이룹니다.  직선과 타원을 예시로 설명하며, 타원의 방정식을  `RT 벡터 = a cos t i + b sin t j` 로 표현합니다.
* 🌀 **타원 나선**은 타원 방정식에 z축 성분 ct를 추가하여 3차원 공간에서 표현할 수 있습니다.
* 📍 곡선 상의 한 점에서 접선 벡터 r'(t)는  `r(t + Δt) - r(t) = Δr`에서 Δt를 0으로 한 극한값이며,  크기가 1인 단위 접선 벡터 u는 r'(t)를 크기로 나누어 구합니다.
* 📏 곡선의 길이 s는 t0부터 t까지 접선 벡터의 크기 ‖r'(t)‖를 적분한 값으로 계산되며,  `ds² = dx² + dy² + dz² = dr²` 로 표현됩니다.

벡터 함수와 스칼라 함수에 대해 알아보겠습니다. 먼저 스칼라

함수부터 설명드리면, 어떤 변수들의

예를 들면 x, y, z 변수의 함수 결과값이 하나의 단일 값, f(x, y, z) 값으로 나오면 이것을 스칼라 함수라고 합니다. 이런 스칼라 함수를

벡터인데요, 성분별로 합쳐져서

벡터화되었을 때, 이것을 벡터 함수라고 하고요. 이것을

원소별로 표현하면 이와 같이 원소로 나타낼 수 있습니다. 그리고

R = (R1, R2, R3)와 같이 성분으로 이루어져 있는데,

R1, R2, R3도 결국 내부적으로 보면 x, y, z 함수라는 것을 알 수가

있죠. 이러한 벡터 함수의 미분을 살펴보면, R(t)가 있는데, R(t) =

R1, R2, R3 성분으로 되어 있을 때, 그것의 미분, R'(t)는 각각의

스칼라 함수인데요. 이 스칼라 함수를 각각 미분해서 각 성분별로

덧셈을 하면 그것이 어 벡터 함수의 미분 결과가 되겠습니다. 참고로 벡터

함수의 미분 법칙을 살펴보면, u

+ v의 미분은 du/dt + dv/dt이고, uv의 미분은 u'v + uv'입니다.  즉, 먼저 앞에 것을

미분하고 v를 더하고, 앞에 것을 놔두고 뒤에 것을 미분합니다. 그리고

u × v의 전체 미분은 du/dt × v + u × dv/dt가 됩니다.

벡터 함수와 곡선과의 관계를 살펴보면,

3차원 공간에서 곡선의 방정식은  r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 와 같이 나타낼 수 있습니다. 이때 t는 매개

변수라고 하고, 이 t 값이 변함에 따라 x, y,

z 값이 바뀌고, 따라서 벡터 함수 r(t)는 공간상에서 어떤 곡선을

이루어 나가게 됩니다. 예를 들면, 그림과 같이 어떤 공간상에 a라는 점이

있고, 그 점의 위치 벡터는 a입니다. 이 점 a에서

점선으로 표시되어 있는데 직선을 묘사하고 싶으면 어떻게 하면 이것이 직선입니다. 자, 직선을

만드는 것은 시작점 a 벡터에다가 더하기, 그리고 이것은 방향이죠. 방향에 매개

변수 t를 곱해서 벡터 b를 더해주면 됩니다. 따라서 t가 0일 경우, t에 0을

넣어 보시면 a가 나오죠. 바로 이 점이 되고, t값이 양으로 쭉 커지면

벡터 b만큼 더해지기 때문에 이렇게 올라가는 거죠. 그리고 t가

음수로 커지면 이렇게 밑으로 쭉 내려가는 거죠. 그래서 결국은 직선은

바로 이 점선의 식을 나타낸다고 보면

되겠습니다. 또 두 번째 예로, 원점을 중심으로 하는 XY 평면상에 존재하는

타원의 식을 보면, 여러분 잘 아시다시피

원은 장축과 단축으로 이루어져

있고, 이쪽 X, Y 있고 이렇게 타원이 이렇게 있으면은, 장축은 길이가

a, 단축은 b. 그렇게 했을 때, 여기에 있던 어떤 한 점을

보겠습니다. 이 한 점이 x, y라고 하면, 이 x, y를 나타내는

식이 이렇게 있습니다. 이 식은 이와 같이 나타납니다.

RT 벡터는 a cos t i + b sin t j 이렇게 되고, a

cos t x + b sin t y라고 합니다. 한번 t 값을 한번 넣어

보면요. 예를 들면 이 지점 같은 경우 x a, y 0이죠. t = 0을

집어넣으면, t = 0을 집어넣으면 요것은

1이 되기 때문에 a 값이 나오죠. 그리고 요것은 t = 0일 때 0이니까

이것은 사라지게 되죠. 따라서 a가 나오고, 확실하게 나오고. 또 90도인 이

지점은 b가 나와야 되는데, 90도를 넣어 버리면 이번에는 이게 0이 되고

이게 1이 되기 때문에 어, 결국 b가 나오니까 이 식이 다원의 한 점을

나타내는 것을 알 수가 있죠. 따라서 a cos t x + b sin t

y인데, 이것을 어 이렇게 정리를 할 수가 있고요. 그리고 어 삼각

함수의 법칙에 의해서 sin²t + cos²t 값이 1이죠. 따라서

이것을 이렇게 대입을 하면 바로 이런 식이 만들어지는데, 이게

우리가 잘 알고 있는 원식이 되는 것입니다. 만약에 a = b라면

바로 원이 됩니다. 그래서 이런 식이 됩니다. 그리고 어 다원의 나선, 어

다원의 선인 경우는 이제 이것, 이것 이외에 ct를 도입을 하면 이것은

3차원 공간에서 이러한 삼원 공간이 있을 때

x, y, z가 있을 때 이 식은 가지면 가질수록 높이가 k, 이제 z 방향이니까 높이가

점점 올라가는 거죠. 따라서 이것은

이런 식의 타원 나선을 나타내는 식이

되겠습니다. 곡선의 접선에 대해서 살펴보면, 어떤 곡선 상에서 있는 한 점

a가 있을 때, 그것의 위치 벡터를 r(t)라 합시다. 만약에 매개변수 t가

되면 이 점이 이렇게 이동했겠죠?

선상에서 이 점의 위치 벡터는 우리가 r(t) + Δr로 표현할 수가 있습니다. 이

두 개 사이의 간격, 즉 이동한 미소

거리를 Δr이라고 우리가 표현을 하면은, r(t + Δt) - r(t) = Δr이 됩니다. 만약에 우리가 Δt를 거의 0으로 하면, 그러면 바로 이 Δr이라는

것은 이 곡선에 접하는 선이 되겠죠. 그래서

dt로 미분을 해서 dΔr/dt 하면 이걸 우리가 r'(t)라고 하고 접선

벡터라고 부릅니다. 이 접선 벡터의 크기가 1인

벡터를 우리가 단위 접선 벡터라고

하는데요, 그걸  u라고 하면, 접선 벡터를 그것의 크기로 나누어 줄 수 있습니다. 그리고 곡선을 따라서,

곡선을 이렇게 쭉 따라서 한 점과 한 점 사이의 길이를 구하고 싶을 때

이런 방법을 사용합니다. 곡선의 길이는 어떻게 정의가 되냐면, 곡선의

길이를 따라서 접하는 접선 벡터를 두 개를 내적하고 루트를 취합니다. 그러면 이것은 접선

벡터의 크기가 나오겠죠. 이 크기를

어떤 매개변수 t0부터 어떤 t까지 적분을 해

주면 바로 s, 즉 길이 함수가 나옵니다. 만약에 매개변수로 미분을

하고 제곱을 해 버리면, 미분을 하고 제곱을 해 버리면 안쪽에 있는 요것만

남게 되죠. 그래서 ‖r'(t)‖ 이렇게 되고, 이것은 이렇게 표기할 수

있고, 이때 우리가 위치 벡터 r의 성분별로 표현하면 이렇게 표현할 수가

있죠. 것을 여기에 각각 대입을 해서 풀어서 쓰면 이렇게 나옵니다.

DT DX + DT DY + DT DG 이렇게 나오고 양변에서 DT를

서로 없애 버리면 DS 제곱은 DX + DY + DG, 즉 이것은 dr 제곱

과 같습니다. 이 ds는 우리가 앞서 언급했습니다.

09장 벡터미분법 3 (벡터함수와 곡선) : 공업수학

내가 이해한 기계공학 (WIU of Mech)

스칼라 함수와 벡터 함수의 정의 및 미분

스칼라 함수는 변수들의 함수 결과값이 단일 값으로 나오는 함수 (예: f(x, y, z))

벡터 함수는 스칼라 함수를 각 성분별(x, y, z 방향)로 합쳐 벡터화한 함수 (예: R = (R1, R2, R3))

벡터 함수 R(t)의 미분 R'(t)는 각 성분별 스칼라 함수의 미분을 합한 결과

벡터 함수의 미분 법칙: (u+v)' = u'+v', (uv)' = u'v+uv', (u×v)' = u'×v + u×v'

3차원 공간에서 곡선의 방정식은 매개변수 t를 사용하여 r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k로 표현

직선의 방정식 예시: 시작점 a 벡터 + 방향 벡터 b에 매개변수 t를 곱한 값

타원의 방정식 예시: RT 벡터 = a cos t i + b sin t j,  a와 b는 장축과 단축의 길이

타원 나선의 방정식 예시: 3차원 공간에서 z 방향으로 높이가 증가하는 타원

곡선 상의 한 점에서 미소 거리 Δr을 이용하여 접선 벡터 r'(t)를 정의

단위 접선 벡터 u는 접선 벡터를 크기로 나눈 벡터

곡선의 길이 s는 접선 벡터의 크기를 t0부터 t까지 적분한 값

곡선 길이 공식: ds² = dx² + dy² + dz² = ‖r'(t)‖²dt²