[음악] 안녕하세요 이야기로 이해하는 수학의 원리, 수학으로 푸는 세상의 비밀의 MC 김수현입니다. 안녕하세요! 일상 속 수학을 재미있게

풀어드릴 수학 스토리텔러 박경미입니다. 수현 씨, 여기 있는 그림에서 좀 특이한 점을 찾아보시겠어요? 특이한

점이요? 어, 글쎄요. 이게 도마뱀인가요? 코가 좀 특이한 거 같고요. 그리고 어, 여기서 그림 속으로 또 들어가네요.

들어갔다 다시 나오는 모습이 있는데요. 이게 좀 특이한 거 같습니다. 예, 이 작품은 어, 네덜란드의 미술가 쇼의

판화 작품인데요. 지금 도마뱀이 2차원 평면과 3차원 공간을 넘나들고 있죠.

이게 바로 오늘 우리가 다루어 볼 주제랑 관련이 되는데, 주제에 대한 감이 좀 오시나요? 아, 이제 척하면 척!

이죠 2차원 3차원 말씀하셨으니까 주제는 바로 차원인 거죠 예 그렇죠 차원은 굉장히 난해한 주제인데요

오늘은 이런 그림 또 소설 애니메이션을 통해서 차원 이야기를 좀 쉽게 풀어보도록 하겠습니다 네 저 사실

오늘 굉장히 기대가 됐던 게 제가 어린 시절에 스타게이트라는 SF 드라마 굉장히 좋아했었거든요 그 드라마

보면서 아 다른 차원은 과연 어떨까 혼자 상상하곤 했었는데 그 궁금증이 오늘 풀릴 것 같습니다 자 그러면요 음

우선 오늘 어려운 차원을 흥미롭게 낸 애니메이션 있다고 해서 준비를 한번 해봤습니다 화면으로 만나보시죠 1884년 영국의 한

시립학교 교장이자 문학가 에드윈 애버 아주 특별한 책을 내놓습니다 그 책의 이름은 플랫랜드 제목이 의미하듯 책은 평평한

세계, 즉 2차원 평면 도형 마을의 이야기를 다루고 있는데요. 아인슈타인의 동인 바시 호프만이 저의에서

원에 해 잘고 있죠. 랜드는 그 인기에 힘입어 후에 애니메이션으로도 제작이 됐는데요. 여기가 바로 도형들이 사는

가상의 2차원 세계 플랫랜드. 호기심 많은 주인공 스퀘어는 어느 날 꿈에서 자신보다 낮은 차원인

1차원의 라인랜드, 한 단계 높은 차원인 3차원 세계를 여행하게 되는데요. 책과 애니메이션으로 차원에 대한

다양한 호기심을 새로운 시각을 통해 풀어내는 플랫랜드. 과연 스퀘어는 흥미로운

차원의 비밀을 밝혀낼 수 있을까요? 네, 저는 사실 애니메이션이라고 해서 어린이용, 뭐 아동용 만화를

생각했는데 잠깐 내용을 봤잖아요 근데도 결말이 벌써부터 궁금해집니다 이건 뭐 성인이 봐도 재밌겠다 이런

생각이 드네요 예 차원의 주제를 굉장히 흥미롭게 풀어낸 애니메이션 인데요 소설 플랫랜드를 보면은 점의

세계인 포인트 랜드는 0차원 그다음에 선들의 세계인 라인 랜드는 1차원 그다음에 평면 도형들의 세계인 플랫

랜드는 2차원 그리고 이제 3차원의 스페이스 랜드까지 다루고 있는데 이 플랫랜드 주인공은 평면 도형인 어

정사각형 스퀘어 아 아무래도 평면 나라 이야기다 보니까 주인공은 평면 도형 중에서도 사각형인 스퀘어가 주인공이

되는 거군요 예 근데 이 플랫 랜드에서 보면은 어 성별과 신분에 따라서 도형의 모양이 달라져요 우선 남성들은

2차원인 평면 도형이 여성은 한 차원 낮은 선분으로 이제 표현을 하는데요 이제 선분은 양쪽 끝이 날카로우니

부딪힐 경우에 다치기 쉽죠 그래서 여성들의 행동 지침을 또 법으로 정해 놓기도 했어요 네 남성은 평면 도형이고

여성들은 한 차원 낮은 이 선분으로 표현했다 그럼 이것 때문에 아무래도 반발의 목소리가 좀 있지 않았을까

하는 생각이 드는데요 예 이 저자인 에드워드 에브 자체는 굉장히 양성평등의 의식이 강했는데 당시 이게 집필 될

때 어 그게 이제 빅토리아 여왕 시대인데 굉장히 그 성차별적인 이데올로기가 만연해 있었고 그것을

반영해서 그렇게 한 차원 낮은 선분으로 표현했다고 해요 그런데 남성도 힘들기는 맞 마찬가지인게 신분에 따라서 모양이

달라지거든요 네 그래서 일단 하층민은 이등변 삼각형이고 그다음에 중간 계층은 정삼각형 그다음에 전문직은

정사각형과 정오각형 그다음에 귀족들은 정육각형, 정칠각형 이런 식으로 그 계급이 높아질수록 더 변의 개수가

늘어나고요 그다음에 성직자는 원으로 표현을 했어요 이 정다각형에서 변의 개수가 많아지면 이제 원이 되잖아요 그러니까

성직자는 귀족 계급에서 가장 꼭대기에 있다는 설정인데요 어 당시에 성직자들이 좀 과도한 특권을 누리고

있다 이런 생각 때문에 원으로 이제 살짝 비틀어서 표현을 한 거죠 네 그렇군요 그럼 아까 주인공은

정사각형이라 말씀을 하셨잖아요 그러면 전문 직종의 어떤 직업을 갖고 있었겠네요 예 맞습니다 이 스퀘어는

Wentbridge 대학에 이제 근무하는 그런 전문직 종사자인데 이 Wentbridge는 네 학교 이름이 또 아주 재미있는

그 패러디를 담고 있어요 네 그러니까 수연 씨 혹시 영국에서 가장 대표적인 대학 하면 어디가 떠오르세요? 글쎄요

아무래도 옥스포드 하고 뭐 케임브리지 뭐 그 정도가 떠오르는데 예 그렇죠 이게 이제 캠브리지를 이제 약간 위트

있게 표현을 한 건데 이제 캠브리지에 보면은 'cam'이 들어 있잖아요 근데 이제 영어에서 '다'라는 'come'의 과거는

'came'이죠 'C'에서 이제 '2'를 떼고 'C'만 해서 이제 캠브리지가 만들어졌다 그러니까 이제 'come'의 반대는 이제 'go'

'가다' 'go'의 과거형은 'went' 그렇죠 'went'죠 그래서 'Wentbridge' 이렇게 된 거죠 아 또 이런 언어적 유희가 들어

있었네요 제목만 봐도 학교 이름만 봐도 굉장히 재밌다 이런 생각이 드는데요 예 그 플랫랜드 이제 차원에

대한 굉장히 치밀한 수학적인 논의도 있지만은 어 또 다른 두 가지 면에서 큰 의의를 갖는데요 우선 첫 번째는 그

빅토리아 여왕 시대의 여러 가지 사회적인 모순과 패를 신랄하게 비판하는 그런 비판의 메시지고백 주인공이 그 플랫랜드와

라인 랜드로 여행을 떠난다 이렇게 말씀을 해 주셨는데 그럼 그곳에서 이 인식의 한계를 뛰어넘는 그런 깨달음을

얻게 되는 건가요 예 이 스퀘어가 이제 0차원인 포인트 랜드 1차원인 라인 랜드를 가는데 네 거기에 가서 어

너희들이 속한 차원보다 이제 더 높은 차원이 있다 나는 2차원에서 왔다 그리고 이제 2차원의 세계에 대해서

열심히 설명을 해 주지만 그 차원과 1차원에서 2차원의 세계를 어떻게 그릴 수가 없어요 근데 이번에는 반대로

플랫랜드에 3차원으로 된 9가 방문을 해요 그러니까 스피어가 와서 이제 3차원의 세계 너네는 가로세로만

있지만 우리는 높이까지 있는 3차원이다 스퀘어한 이야기를 해 주지만 이해를 하지 못해요 그래서 구가 어떻게 하냐 하면은 이 플랜

랜드를 쭉 관통하면서 지나가는 거예요 그러면 플랫랜드 입장에서는 어떻게 보일 거냐 하면은 구를 보지는 못하는

거고요 갑자기 이제 점이 나타났다가 점점 점점 점이 커져서 큰 원이 됐다가 그 원이 다시 사라져서 이제 점으로

변하는 이제 그런 모습을 보게 되겠죠 그래서 그거를 보면서 3차원의 구가 어떤 모양일지 이제 연상을 해야

되는데 이제 스퀘어가 어려운 푸시 3,000원의 세계에 대해서 이해를 하게 되죠 네 그렇군요 굉장히 저는

말씀을 드리면서 같이 상상을 해 봤는데 아 제가 그 입장이면 왜 이해를 못 할까 이런 생각이 들기도

하네요 네 이렇게 소설 플랜 랜드에 대해서 자세하게 살펴봤는데요 이제 차원의 문제로 조금 돌아가 볼까요

수학에서 차원을 어떻게 정의하고 있나요 차원이라는 것은 이제 공간에서 그 위치를 나타내기 위해서 몇 개의

좌표가 필요한가 아 이것으로서 이제 차원을 표현하죠 아 좌표 요청 절에 많이 그랬어요 뭐 XY 축 해서 점

찍고 많이 했었던 기억이 있네요 그렇죠 중고등학교 수학에 보면은 이제 XY 좌표 그리고 뭐 여러 가지

함수의 그래프 그리고 이런 일들 많이 하죠. 네. 우선 1차원부터 알아보면 선분이 지금 1차원이라고

했잖아요. 그러면 수직선을 그려 놓고 수직선 위에 점 P 위치는 그냥 하나의 좌표 a, 좌표 하나로

표현을 할 수가 있죠. 자 이제 2차원으로 가면은 이제 가로축이 있고 그것과 직교하는 세로축을 놓죠. X 축

Y 축을 넣고 그 점 Q 위치는 X 좌표와 Y 좌표 즉 a, b 표현을 할 수가 있어요. 네. 그리고 이제 여기서

이제 하나 더 3차원으로 확장을 하게 되면 XY 축에 동시에 직교하는 제 3의 축 Z 축을 놓게 되지. 그래서 이

3차원에서의 위 점 아래 위치는요 X 좌표, Y 좌표, Z 좌표 그래서 a, b, c 나타내는데요. 이것은 어 순서

쌍이라는 그 어 다른 위치가 되기 때문에 순서가 굉장히 중요하죠 네 그러니까 1차원의 가로 2차원은

가로와 세로 또 3차원은 가로와 세로 높이 이렇게 표현할 수 있기 때문에 좌표의 개수대로 이름을 붙인 거다

이렇게 말씀을 해 주시는 거죠 예 맞습니다 특히 이제 2차원 좌표 관련해서 재밌는 일화가 있는데요 어

17세기 수학자이자 철학자인 데카르트 있죠 데카르트가 굉장히 병약해서 침대

누워서 지내는 시간이 많았대요 그래서 어느 날 이렇게 침대에 누워 있는데 천장에서 파리가 왔다 갔다 하는

거예요 그래서 저 파리의 위치를 어떻게 나타낼까 생각하다가 이제 좌표를 깔렸다는 그런 생각을 했다고

해요 아 그러니까 파리의 위치를 파악하기 위해서 좌표를 발명했다 이런 말씀이시군요 어 굉장히 유리가 재밌는

거 같은데요 그러면 이 데카르트의 입장 그 좌표계에 따르면 저희는 뭐 앞뒤로 그리고 좌우로 위아래로 움직일 수

있으니까 우리가 살고 있는 이 세상은 3차원이다 이렇게 표현이 되겠네요 그렇습니다 어 3차원에 예를 들기

위해서 한번 어 비행기의 위치를 생각해 보죠 그러니까 비행기가 어디에 있는지 위치를 알려면 위도와 경도 즉

경도와 위도 그리고 해당하는 위도와 경도도 알아야 되지만 지상으로부터 어느 높이에 있는지도 알아야 되겠죠

그러니까 여기에 이제 세 가지 정보가 필요하겠고 3차원의 대표적인 예가 되겠습니다 그러면 생활 속에서 그밖의

차원을 만날 수 있는 그런 예는 없을까요? 어, 바코드도 한번 생각해 볼 수가 있는데요. 우리가 이제 슈퍼마켓 가면은 그 스캔하는 바코드

그거는 이제 1차원 바코드예요. 그런데 이제 요즘에 스마트폰으로 어 자주 이용을 하는 QR 코드 있죠? 그

QR 코드는 2차원 바코드예요. 그러니까 가로와 세로 양쪽으로 그 정보를 담았기 때문에 좁은 공간에다가

많은 정보를 집약해 넣을 수가 있지요. 네, 그다음 이제 3차원과 관련해서는 3D 영화 같은 거 생각해

보시면 좋은데요. 저도 최근에 '그래비티'라고 보고 아주 그 감명을 받았는데 이 3D, 쓰리 디멘션, 세 개의

차원을 구현해서 입체감을 높이는 그런 방법인 거죠. 네, 이렇게 또 경험까지 말씀을 해 주시니까 차원이 더욱더

머릿속에 쏙쏙 박히는 거 같습니다. 2차원에 높이를 더하면 3차원이 됐듯이, 3차원에 새로운 요소를

추가하면 4차원의 비밀을 푸는 날도 뭐지 않은 거 같습니다. 자, 이번에는요 불가능한 세계를 담은 아주 특별한

영화가 있다고 해서 준비를 해봤습니다. 화면으로 만나보시죠. 2010년도에 개봉해 큰 화제를 불렀던 영화

인셉션. 영화를 보다 보면 아주 불가사이한 계단이 등장하는데요. 영화 속 계단은 아무리 올라도 제자리를 걷는 것 같고 또

끝없이 이어지죠. 이렇게 뫼비우스의 띠처럼 끝없이 계속되는 계단은 영국의 수학자

로저 펜로즈가 고안한 불가능한 모양으로 펜로즈의 계단이라 불립니다. 펜로즈의 계단의 비밀은

연결된 듯 보이는 계단이 다른 각도에서 보면 끊겨져 있다는 점인데요 2차원에서 가능한 듯 보이지만 3차원에서는 불가능한 도형인

셈이죠 아 정말 신기한데요 차원을 따라서 달라지는 불가능한 도형이 펜로즈의 계단에 대해서 다시 한번

자세하게 설명을 해주실 수 있을까요 이 펜로즈의 계단을 보시면요 요 이제 올라가죠 90도 꺾어서 올라가고

90도 꺾어서 올라가고 또 90도 꺾어서 올라갔는데 시작점 하고 맞닿아 있잖아요 네 그러니까 어 이것이 만약

존재한다면 무한히 상승하는 계단이 되겠죠 근데 사실은 이거 이제 3차원에서는 불가능한 그런 모양이

되겠고요 영화를 보시면은 영화 장면에서 이렇게 올라가지만 사실 그 시작점과 그 올라간 지점하고가 상당한 그 높이가 떨어져 있는 장면을

보실 수가 있죠 근데 이 펜로즈의 계단은 펜로즈의 삼각형을 원형으로 해요 아 그러면 펜로즈의 삼각형도

로저 펜로즈가 고안한 도형이 있죠 예 펜로즈는 이제 수학자이자 물리학자이자 지금 굉장히 고령이지만 그

80세가 넘은 상태로 이제 현존하고 있는 인물인데요 우리 처음에 봤던 에셔 도마뱀을 그렸던 에셔하고 서로

영향을 주고받은 것으로 알려져 있어요 그러니까 이 펜로즈 계단을 생각할 때 에셔로부터 영감을 받았고 또 에셔

불가사의한 차원의 세계 / YTN 사이언스

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YTN 사이언스

소개 및 플랫랜드 애니메이션 소개

도마뱀 그림을 통해 차원에 대한 궁금증 유발

차원이라는 난해한 주제를 그림, 소설, 애니메이션을 통해 쉽게 설명

플랫랜드 애니메이션 소개: 2차원 세계를 배경으로 한 이야기

플랫랜드의 세계관 및 사회 구조 분석

플랫랜드의 차원: 0차원(포인트랜드), 1차원(라인랜드), 2차원(플랫랜드), 3차원(스페이스랜드)

주인공 스퀘어: 정사각형 모양, 전문직 종사자

성별에 따른 도형 차이: 남성은 2차원 도형, 여성은 1차원 선분

신분에 따른 도형 차이: 계급이 높을수록 변의 개수가 많은 정다각형

Wentbridge 대학: 캠브리지 대학을 패러디한 설정

차원의 수학적 정의: 위치를 나타내는 데 필요한 좌표의 개수

1차원: 수직선 위의 점(하나의 좌표)

2차원: 평면 위의 점(두 개의 좌표)

3차원: 공간 속의 점(세 개의 좌표)

데카르트와 좌표계 발명: 파리의 위치를 나타내기 위한 아이디어

생활 속 차원의 예: 바코드(1차원), QR 코드(2차원), 3D 영화(3차원)

펜로즈의 계단과 삼각형: 불가능한 도형

인셉션 영화 속 펜로즈의 계단: 무한히 이어지는 듯 보이는 계단

펜로즈의 계단: 2차원에서는 가능하지만 3차원에서는 불가능한 도형

펜로즈의 삼각형: 세 각의 합이 270도인 삼각형

다양한 관점에서 사물을 바라볼 것을 강조

4차원 세계: 3차원 공간에 새로운 요소 추가

애니메이션을 통해 2차원과 3차원의 차이 설명

달리의 작품 '십자가에 못 박힌 예수': 4차원 초입방체의 전개도

4차원 입체 도형의 3차원적 표현의 한계

파리의 라데팡스 지역 그랑드 아르슈: 초입방체 모양의 건축물