행렬과 행렬식 개념, 연산, 선형 연립 방정식 해법

행렬은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 전치 등의 연산이 포함된 숫자 또는 함수의 배열입니다.

### 공업수학: 행렬과 행렬식 1 - 행렬의 성질
* 🧮 **행렬**은 수나 함수를 행과 열로 배열한 것으로,  m×n 행렬 A는 m개의 행과 n개의 열, 그리고 a_{ij} 원소로 구성됩니다.  **주대각 요소**는 주대각선 상에 위치합니다.
* ➕ 행렬의 덧셈과 뺄셈은 같은 위치의 원소끼리 계산합니다. 스칼라 곱은 각 원소에 스칼라 값을 곱합니다.
* 🔄 **행렬의 전치(transpose)**는 행과 열을 바꾸는 연산입니다.  행렬 A의 전치는 Aᵀ으로 표기하며, A = Aᵀ인 경우 **대칭 행렬**, Aᵀ = -A인 경우 **반대칭 행렬**입니다.  반대칭 행렬의 주대각 요소는 항상 0입니다.
* ✖️ 행렬의 곱셈은 A(m×n)와 B(p×q)일 때, n=p여야 가능하며, 결과 행렬 C는 m×q의 크기를 갖습니다.  C의 각 원소는 A의 행과 B의 열의 원소들의 곱의 합으로 계산됩니다.
* 🧮 행렬 곱셈은 결합법칙과 분배법칙이 성립하지만, **교환법칙은 성립하지 않습니다**.  즉, A×B ≠ B×A 입니다.  또한, A×C = A×D라고 해서 C=D가 아닙니다.
* ❗ A×B = 0이라고 해서 A=0 또는 B=0이라는 보장이 없으며,  A×B의 전치는 Bᵀ×Aᵀ입니다.
* 🧮 **항등행렬(I)**은 주대각 요소가 1이고 나머지는 0인 행렬로, 어떤 행렬에 곱해도 원래 행렬이 나옵니다.
* 📚 이 장에서는 행렬의 정의, 연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 스칼라곱), 전치, 그리고 특수한 행렬(대칭행렬, 반대칭행렬, 항등행렬)의 성질을 학습합니다.

8장은 행렬과 행렬식에 관한 내용입니다. 학습 목표는 행렬과

행렬식의 정의 및 개념을 이해하고, 행렬

간의 연산 방법, 그리고 행렬을 이용한 선형 연립 방정식의 해를 구해보도록

하겠습니다. 행렬의 개념에 대해서 말씀드리면, 행렬은 수나 함수를

행과 열로 배열해 놓은 것을 말합니다. 예를 가지고 말씀드리면요, 같은

예가 있을 때, 행이라 하면 가로로 배치되어 있는 것을 우리가

행이라고 하고, 여기서는 두 개의 행이 있습니다. 열이라고 하면 세로로 배치되

있는 것을 열이라고 하고, 여기서는 세 개가 있죠. 따라서 이것을 우리가 2×3

행렬이라고 부릅니다. 그리고 행렬 속에

들어 있는 이런 값들은 우리가 원소라고 부릅니다. 행렬은 이런 모양뿐만 아니라

이렇게, 또는 이렇게 되어 있는 것, 그리고 원소가 함수도 들어갈 수

있습니다. 이런 여러 가지 모양이 있습니다. 일반적으로 m×n 행렬 A가

있다면, a_{ij} 이런 모양을 갖는데요. 보시다시피,

m개의 행, n개의 열 이렇게 되어 있고요. 그리고 이때 한 가지 알아두시면 좋은

것이, 주황색으로 표시되어 있는 대각선에 있는 것을 우리가 주대각

요소 주대각선이라고 합니다. 이런 행렬을 일일이 원소로 다 나타내기가

힘들므로 축약해서 이렇게 적습니다. a_{ij}는

어, 세를 하고 스몰 a, 원소는 소문자를 적습니다. 그래서 a_{jk}, j는

1에서 m, k는 1에서 n. 이때 j는 행을 의미하고, k는 열을 의미하고

되겠습니다. 어, 그리고 이렇게 행으로만 되어 있는 것을 우리가 행 벡터라고

벡터라는 단어를 써서 표기하기도 하고, 그리고 열로만 되어 있는 것은

또 열 벡터라고 합니다. 여러분이 벡터에 대한 개념을 아시고

계시겠지만, 다시 한번 간단히 말씀을

드리면, 스칼라 하면 크기만 있는 것을 말하고, 벡터라고 하면은 이 스칼라의

크기에다가 방향까지 포함된 것을 우리가 벡터라고 부르는데요. 어,

나중에 이것이 왜 벡터인지가 나옵니다. 행렬의 기본 연산을

살펴보겠습니다. 행렬이, 두 개의 행렬이

같다는 의미는 이렇습니다. 행렬 A가 있고 행렬 B가 있는데 어,

이것이고 이라고 했을 때, 두 행렬이 같다는 얘기는 일단 사이즈가 같아야

됩니다. 그래서 m×p, m×q 같아야 되고요.  이는 행렬의 크기, 모양이

같다는 뜻이고요. 두 번째는 같은 위치에 있는

됩니다. 즉, J행 K열에 있는 a와 b가 같아야 됩니다. 이 두 가지 조건이

만족될 때 우리가 두 행렬은 같다고

합니다. 그리고 행렬 간에 더하기, 빼기는 어떻게 하느냐? 단순하게 원소끼리, 같은

위치에 있는 원소끼리 더하고 빼주면

됩니다. 또 행렬의 어떤 상수값, 스칼라

곱이 곱해질 때 계산은 어떻게 하느냐?

어, 이것은 그냥 상수, 즉 스칼라를

안에다 집어넣어서 각 원소마다 곱해

주면 되겠습니다. 행렬의 전치, 영어로는 트랜스포즈 합니다만, 전치는 어떤

의미냐? 행과 열을 서로 맞바꾸는 것을

우리가 전치합니다. 예를 들면 a_jk 했을 때, 어, 이것의 전치는

위에다가 t 기호를 붙여서라고 하고, k와 j를 서로 바꿉니다.

k, j. 예를 들면 이런 행렬 A가 있을 때, 이것의 어

전치는, 어, 예를 들면 1, 2, 4라는 행이

이쪽에서는 이렇게 옮겨왔습니다. 그래서 이렇게 왔죠. 그래서 2행 3열 행렬이

어, 3열로 되어 있는 것을 볼 수 있습니다. 그런 행렬이라고 하면은 어

행렬과 그 행렬의 전치가 서로 같을 때, 이것을 우리가 대칭 행렬이라고

합니다. 예를 들면 이런 것이 있을 때, 여기 빨간 점선을 중심으로 보시면

거울 형상, 즉 3과 3이 서로 같은 값이죠. 이 행렬을 전치

시키더라도 바로 이와 같은 모양이 됩니다. 왜냐면 행과 열을 이렇게 바꿔

보시면 이것이 나오죠. 즉 이것과 이것이 같습니다. 이런 것을 우리가

대칭 행렬이라고 합니다. 이에 반해서 반대칭 행렬이라고 하는 것은 어

때를 우리가 반대칭 행렬이라고 합니다.

예를 들면 이와 같이 있을 때, 어 이것을 전치 행렬로 만들면 이같이

되는데 보시다시피 원래 행렬에 -1을

곱해주면 이게 되죠. 그래서 어 이런 형태를 우리가 반대칭 행렬이라고

합니다. 이때 한 가지 주목해야 될 것은 반드시 주대각 요소 값은 0이

될 수밖에 없다. 이것이 0이 되지 않으면, 어, 마이너스를 붙이면 값이

부호가 변하기 때문에 반대칭 행렬이 되지 않는다는

사실입니다. 두 행렬 A, B가 있을 때, 이것을 서로 곱해 보도록 하겠습니다.

행렬의 곱이 이루어질 때는 약간 복잡한데요. 만약에 A가 m×n, B가 p×q라면,

어, 결론적으로 말씀드리면, 어, n이라는 열 값과 p라는 행의 값이 같은 값이어야 곱해질

수 있습니다. 그래서 A와 B를 곱해서 C라는 결과가 나왔을 때, 빨간색으로

표시되어 있는 n과 p는 반드시 같은 값이어야 곱해질 수 있고, 최종적으로

나오는 C라는 행렬의 행과 열의 수는 m×q가 됩니다.

한 가지 예를 들면, 이와 같이 2×3의 A 행렬이 있고, 3×3의 B

행렬이 있을 때, 그 곱의 결과는 안쪽에 있는 값, 즉 3과 3은 같은 값이니

곱해질 수 있습니다. 그리고 최종적으로 나오는 행렬은 2×3이 나오는데요,

이 2×3을 계산하는 방법은 다음과 같습니다. 첫 번째

행과 첫 번째 열을 곱한다면, 어, A₁₁과 B₁₁을 곱해주고,

A₁₂와 B₂₁을 곱해주고, A₁₃와 B₃₁을 곱해서, 즉 이렇게

곱해서 다 더해 줍니다. 그 다 더한 것을 어, 1행 2열라는 위치, 여기가

바로 행렬의 1행 2열 위치인데요. 다 더한 그 결과값을 적어

주면 이것이 어, 행렬을 곱하는 방법이

되겠습니다. 행렬의 곱의 성질을 살펴보면은 어, A, B라는 행렬이

있고, C라는 스칼라가 있을 때, 뭐 이렇게 그냥 순차적으로 곱해도 되고

또 A, B를 먼저 곱해서 해도 되고, 이렇게 다 성립이 되고요. A, B, C

세 개의 행렬이 있을 때, 서로 다르게 묶어도, 순서를 바꿔도 똑같다.

이것을 우리 결합법칙이 성립한다고 하죠.

그리고 A + B에 C를 곱할 경우는 이렇게 분배를 할 수 있습니다. 이

우리가 분배법칙이 성립한다고 하고, 스칼라는

어떤 행렬에, 그다음에 A + B를 곱해주면 역시 분배법칙이 그대로

성립합니다. 그리고 A에 I 행렬을 곱하는 케이스를 보면, I라는 것은 무엇이냐면

우리가 항등행렬이라고 하는데요. 즉,

항등행렬이라고 하는 것은 어떤

표시가 되냐면, 어, 대각 요소에 있는 것은 전부 1로 되어 있고, 그리고

대각 요소가 아닌 것들은 전부 영으로 되어 있는 것을 우리가 항등 행렬이라고

합니다. 대표적으로 3×3일 경우에 항등 행렬의 모양은 1

0 0, 0 1 0, 0 0 1 이런 것입니다. 어떤 행렬에 항등 행렬을

곱했을 때 그것이 앞에 오든 뒤에

오든 본래 자기 자신이 나온다는 것입니다. 역할로 보면 우리가 어떤 값에

다가 곱하기 1을 했을 때 원래 값이 그대로 나오는 그런 역할을 하는

것이지요. 그리고 행렬 곱에 있어서 매우 중요한

성질은 교환 법칙이 성립하지 않는다는

것입니다. 즉, A × B 한 것과 B × A 한 것은 서로 다른 값이

나옵니다. 이 점은 매우 중요하니까 꼭

알아두셔야 합니다. A × B 곱한 것이 0이라고

08장 행렬과 행렬식 1 (행렬의 성질) : 공업수학

내가 이해한 기계공학 (WIU of Mech)

행렬은 수나 함수를 행과 열로 배열한 것

행: 가로로 배치된 원소들, 열: 세로로 배치된 원소들

m×n 행렬: m개의 행과 n개의 열을 가진 행렬

주대각 요소: 대각선 상에 위치한 원소들

행 벡터와 열 벡터에 대한 설명

두 행렬이 같다는 조건: 크기와 같은 위치의 원소가 같아야 함

행렬의 덧셈과 뺄셈: 같은 위치의 원소끼리 연산

스칼라 곱: 상수를 모든 원소에 곱함

대칭 행렬: 전치 행렬이 원래 행렬과 같은 행렬

반대칭 행렬: 전치 행렬이 원래 행렬에 -1을 곱한 것과 같은 행렬 (주대각 요소는 0)

행렬 곱셈 조건: 첫 번째 행렬의 열의 수와 두 번째 행렬의 행의 수가 같아야 함

행렬 곱셈 계산 방법: 해당 행과 열의 원소들을 곱하고 합산

행렬 곱셈의 결합법칙과 분배법칙

항등행렬(I): 대각 요소가 1이고 나머지는 0인 행렬

행렬 곱의 전치: 각각 전치 후 순서를 바꿈