골드바흐의 추측과 폴리아 추측의 검증 및 반례 분석: 수학적 탐구의 본질

처음에는 사실이라고 믿었던 폴리아의 추론이 거짓임이 밝혀지면서 수학에서 귀납적 추론의 한계가 드러났습니다.

### 추측의 세계: 골드바흐 추측과 폴리아 추측의 진실과 오류
* 🧮 **골드바흐의 추측**은 짝수가 두 소수의 합으로 표현될 수 있다는 것으로, 1742년 제기된 유명한 미해결 문제입니다.  100만까지는 검증되었으나, 증명은 아직 되지 않았습니다.
* 🔎 1938년 닐스 피은 수작업으로 100만까지 검증했고, 이후 컴퓨터를 이용하여 더 큰 수까지 검증되었습니다.
* 🤔 **폴리아 추측**은 자연수를 소인수 개수에 따라 홀수/짝수 그룹으로 나눌 때, 홀수 그룹이 더 크다는 추측입니다.  리우빌 함수를 이용하여 표현할 수 있습니다.
* 💻 100만까지의 검증 결과, 수가 커질수록 0에서 멀어지는 경향을 보였으나, 반례가 존재합니다.
* ❌ 1958년 해즐그루브는 **리만 가설**을 이용하여 폴리아 추측이 거짓임을 증명했습니다.  약 1.845 * 10³⁶¹ 정도의 수에서 반례가 존재할 것으로 추정했습니다.
* 🚫 1960년 레먼은 n=9억 618만 39에서 반례를 찾았고, 1980년 타나카는 n=9억 615만 27이 **최소 반례**임을 밝혔습니다.
* 💡 폴리아 추측의 오류는 **많은 경우의 진실이 전체를 대변하지 않음**을 보여주는 중요한 사례입니다.
* ✨  폴리아 추측은 리만 가설과 같은 심오한 문제에 대한 탐구를 촉진하는 역할을 했습니다.  수학적 탐구의 중요성을 강조합니다.

파이썬 코드를 작성해 간단하게 100만까지 확인해 보았을 때

결국 수가 커질수록 다시 0과 멀어지는 추세를 확인할 수

있습니다. 수학에서는 끊임없는 탐구와 질문이

이어지고, 그 탐구의 발판이 되는 것이 바로

추측입니다. 추측은 어떤 수학적 성질이

일정한 범위 또는 특정 조건에서 참이라고 생각되지만 아직 증명되지

않은 주장입니다. 예를 들어 골드바흐의

추측이 있죠. 골드바흐의 추측은 수학의

유명한 미해결 문제 중 하나로, 독일의 수학자 크리스티안 골드바흐가

1742년에 처음 제기했습니다. 이 추측은 간단하면서도

아름답게 표현됩니다. 쉽게 말해, 어떤

짝수 n이 주어졌을 때, 두 소수 p, q가 존재하여 n = p + q인 것입니다.

예를 들어 다음과 같은 조합 등이 있습니다. 이러한 조합은 꽤 큰

수에서도 잘 맞아떨어집니다. 1938년 닐스 피은

수작업으로 100만의 경우까지 검증했습니다. 그 후 컴퓨터의 도움을 받아 더 많은

수들에 대해 진위가 확인되었습니다. 특히 실바는 컴퓨터를

이용하여 배경보다 작은 수들에 대해 이 추측을

검증했습니다. 이는 작은 모래알들을 나열해서 지구를 1억 번 정도 돌 수

있는 길이가 될 정도로 큰 수입니다. 골드바흐의 추측은 수백 년 동안 수많은

수학자들에게 도전의 기회를 제공했으며,

많은 짝수에 대해 실험적으로 검증되었습니다. 그렇다면 이렇게 큰

수까지 증명되면 참이라고 할 수 있을까요? 폴리아 추측은 조직 폴리아가

1919년에 제시한 수학적 가설로, 소수론과 관련이 깊은

내용입니다. 이 추측은 자연수를 소인수의 개수에 따라 두 그룹으로 나누는

방식과 관련이 있습니다. 구체적으로 폴리아 추측은

어떤 자연수 n에 대하여 1보다 크고 n 이하인 모든 자연수들의 소인수의

개수가 홀수인 그룹과 짝수인 그룹으로 나눌 때, 홀수인 그룹의 원소의 수가

짝수인 그룹의 원소의 수보다 많다고 주장합니다. 자세히 보도록 하겠습니다.

예를 들어 n=10인 경우, 1과 10 사이에 있는 숫자 중 홀수 개의

소인수를 가진 수는 2, 3, 5, 7, 8이고, 짝수 개의 소인수를 가진 수는

4, 6, 9, 10입니다. 여기서 주의하실 점은 8과

같이 같은 숫자의 거듭제곱인 경우, 각 소인수의 성분을 세므로 세 개의

소인수를 가진다고 봐야 합니다. 이렇게 소인수 분해를 하고 난 후 개수를

다음 표와 같이 누적해서 보면, 소인수가 홀수 개인 수의 개수가 짝수

개인 수의 개수보다 항상 큰 것을 볼 수 있습니다. 앞서 본 표에서 규칙성을

보겠습니다. 소수들은 홀수 개의 성분으로 소인수 분해됩니다. 짝수 개의 성분으로

소인수 분해되는 수와 홀수 개의 성분으로 소인수 분해되는 수들의

개수가 앞으로도 비슷하다고 생각한다면, 더 큰 수들도 조사해 보았을 때

홀수 개의 성분으로 소인수 분해되는 수가 항상 더 많을 것이라고 생각할

수 있습니다. 이 추측은 리우빌 함수를 이용해 보다 쉽게 나타낼 수 있습니다.

리우빌 함수는 자연수에 대해 정의된 함수로, ω(n) (n을 소인수 분해한

결과에서 소인수 지수의 총합)이라 할 때, 짝수이면 +1을, 홀수이면 -1을

값으로 갖는 함수입니다. 따라서 폴리아 추측은 다음과 같이 정의되는 L(x)가

항상 0 이하라는 추측입니다. 모든 정수는 소수들의

곱으로 유일하게 표현될 수 있으며, 리우빌 함수는 이 소수들의 거듭제곱

지수를 통해 값을 결정하기 때문에 서로 소인 두 수의 소인수 분해는

서로 영향을 주지 않아 이들의 리우빌

함수의 값의 곱은 각각의 리우빌 함수의 값과

동일합니다. 따라서 리우빌 함수는 서로 소인 두 정수 a, b에 대해 λ(ab) =

λ(a) * λ(b)를 만족하는 곱셈적 함수이므로 이 문제의 분석을 더

간편하게 할 수 있습니다. 이를 이용하여 파이썬 코드를

작성해 간단하게 100만까지 확인해 보았을 때, 비록

485112 에서 -3까지 0에 근접하며 추측을 위협하지만, 결국에

수가 커져 갈수록 다시 0과 멀어지는 추세를 확인할 수 있습니다. 그렇다면 이

추측은 더 큰 수에서도 항상 성립한다고 할 수

자신의 논문에서 |x| < 2⁵⁰⁰ 일 때에 대해 참임을

확인했습니다. 더하여 이 추측이 항상 참이 아님도 증명합니다. 그의 증명은

리만 가설을 가정하고 리만 제타 함수와 리우빌 함수의 관계를 이용해 리만 제타

함수의 특정 값들을 분석하여 홀데 추측이 잘못되었음을

보여주었습니다. 림만 가설에서 0점이 일직선상에 있다는 단순성을 가정한

잉어의 작업을 이용하여 함수를 정의하고, 이로부터 어떤 값 u에 대해

LE² 의 제곱이 0보다 큼을 보였죠.

이후 컴퓨터를 사용하여 Z 함수를 큰 범위에서 계산했더니, 약 1.845 *

10의 361제곱 정도의 수에서 반례가 존재할 것으로 추정했습니다.

관측 가능한 우주에 있는 원자 수가 대략 10의 80제곱 개라고

추측하는데, 해당 그룹이 추측한 반례는

우주에 있는 원자의 수를 네 제곱한 수보다 크므로, 상상도 하기 어려운

숫자죠. 그래서 구체적인 반례를

확인할 수 없을 줄 알았습니다. 하지만 다행히도 추측이

거짓임이 밝혀진 지 2년 뒤에, 레먼은

다음 공식을 이용해 n=9억 618만 39에서 이 추측이 성립하지 않음을

보이며 처음으로 명확한 반례를 찾아냅니다. 이후 1980년에 이르러

타나카가 n=9억 615만 27이 홀리아

추측에 가장 작은 반례임을 밝혀내게

됩니다. 저도 이 문제를 직접 풀어보기 위해 코드를 작성하고 이틀간 검증해

본 결과, LX 값을 모아 놓은 파일의 크기만 7GB가 넘어갔지만, 결국 같은

값을 구현했습니다. 그리고 10억까지의 수 중에서는 9억 631만 6571

개의 LX 최댓값이 828임을 확인했습니다.

이 결과에 대해 관심이 있으신 분들은 블로그를 참고해 주시기 바랍니다. 여러

연구 결과를 통해 LX가 항상 음수가

아니라 양수일 수도 있음이 밝혀졌고, 이를 만족하는 최소의 반례도

찾아냈습니다. 하지만 반대로 LX가 무한히 양수와 음수를 오가는지는 아직

열린 문제로 남겨져 있습니다. 래들은 진리를 향한 여정에서

중요한 이정표입니다. 폴리아의 추측이 틀렸다는 사실은 많은

경우에서의 진실성이 전체를 대변하지 않음을 보여주며, 특정 사례에서의

진실이 일반화될 수 없다는 중요한 교훈을

제시합니다. 그러나 이 추측을 통해 얻을 수 있는 것은 이러한 단순한 교훈

뿐만이 아닙니다. 수학은 해답도 중요하지만,

어쩌면 그 과정이 더 중요하다고 생각합니다. 폴리아가 이 추측을 제시한

것은 정말이 명제가 참이라고 생각해서

그런 것은 아니었습니다. 사실은 정반대죠. 리아는 이 명제가 참이라고

생각하지 않았습니다. 이 명제를 증명하는 과정에서

보듯이, 추측의 본 목적은 리만 가설과

같은 깊은 수학적 문제에 대해 탐구를

촉진하고자 함이었습니다. 폴리아의 추측은 결코

오류를 의미하는 것이 아니라, 리만 가설을 향한 도전의

초대장이었습니다.  수학의 새로운 분야를 개척할 수 있다고

생각했습니다. 골드바흐의 추측과 폴리아의

문제는 모두 수학 탐구의 본질을 반영합니다.

추측, 하지만 빨랐죠?

You know what’s cooler than magic? Math.


Ray 수학

골드바흐의 추측 소개 및 검증 과정

100만까지의 짝수에 대해 골드바흐의 추측을 검증한 결과, 수가 커질수록 0과 멀어지는 경향을 확인.

골드바흐의 추측 정의: 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현 가능하다.

1742년 크리스티안 골드바흐가 제기, 수학의 유명한 미해결 문제 중 하나.

1938년 닐스 피은 수작업으로 100만까지 검증, 이후 컴퓨터를 이용하여 더 많은 수에 대해 검증.

수백 년 동안 수많은 수학자들에게 도전의 기회를 제공, 많은 짝수에 대해 실험적으로 검증됨.

폴리아 추측 소개 및 반례 발견

폴리아 추측 정의: 1보다 크고 n 이하인 모든 자연수를 소인수의 개수(홀수/짝수)에 따라 분류했을 때, 홀수인 그룹의 원소 수가 짝수인 그룹보다 많다.

n=10일 때 예시 제시 및 소인수 개수 세는 방법 설명 (8과 같이 거듭제곱인 경우 각 소인수의 성분을 모두 세어야 함).

리우빌 함수를 이용한 폴리아 추측의 간략한 표현: L(x)가 항상 0 이하라는 추측.

100만까지 검증 결과, 485112에서 -3까지 0에 근접하지만, 수가 커질수록 다시 0과 멀어지는 추세 확인.

1958년 해즐그루브, |x| < 2⁵⁰⁰ 일 때 참임을 확인하고 추측이 항상 참이 아님을 증명. 리만 가설을 가정하여 리만 제타 함수와 리우빌 함수의 관계 이용.

폴리아 추측 반례 및 추가 연구

2년 뒤 레먼, n=9억 618만 39에서 반례 발견. 이후 1980년 타나카, n=9억 615만 27이 가장 작은 반례임을 밝힘.

강사의 직접 검증 결과: 10억까지의 수 중 LX 최댓값이 828임을 확인 (7GB 파일 크기).

LX가 항상 음수가 아니며 양수일 수도 있음이 밝혀짐. 최소 반례 발견. LX가 무한히 양수와 음수를 오가는지는 아직 열린 문제.

폴리아 추측의 의미 및 수학적 탐구의 중요성

폴리아 추측이 틀렸다는 사실은 특정 사례의 진실이 일반화될 수 없다는 교훈 제시.

수학은 해답뿐 아니라 탐구 과정 또한 중요. 폴리아는 이 추측이 참이라고 생각하지 않았고, 리만 가설과 같은 심오한 문제에 대한 탐구를 촉진하기 위해 제시.

폴리아의 추측은 오류가 아닌, 리만 가설을 향한 도전의 초대장. 수학의 새로운 분야 개척 가능성 제시.

수학 발전은 귀납 추론과 연역적 과정의 순환 속에서 이루어짐. 끊임없는 탐구와 질문, 불확실성 속에서 진리를 발견하는 여정.