미분 공식 및 활용: 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수 미분법 상세 설명

미적분은 axⁿ를 미분하면 naxⁿ-¹이 나온다는 것을 보여줍니다.

### 공업수학 미분 개념 및 공식 정리 (12주 1강)
* 📌 **미분 공식** y = axⁿ에 대한 미분 공식을 유도하는 과정을 설명합니다.
* 🧮 로그 함수를 이용하여 미분 공식을 유도하고, 로그의 성질을 활용하여 공식을 간소화합니다.  
* 📚 **지수함수와 로그함수 미분 공식**을 표로 정리하여 참고 자료로 제시합니다.
* ✏️ 다양한 함수 (삼각함수, 역삼각함수)의 미분 문제를 풀이하며 **미분 규칙**을 적용하는 방법을 보여줍니다.
* 📝 **삼각함수의 미분** 예시로 sin, cos, tan 함수의 미분을 설명하고, 미분 결과를 제시합니다.
* 🔄 **역삼각함수의 미분** 예시로 arcsin, arccos, arctan 함수의 미분을 설명하고, 삼각형을 이용하여 공식을 유도하는 과정을 보여줍니다.
* 💡 역삼각함수 미분 과정에서 **삼각함수의 관계식**과 피타고라스 정리를 활용하여 공식을 유도합니다.
* 🎯  **미분 공식 유도 및 적용**을 통해 미분 개념에 대한 이해도를 높이고, 다양한 문제에 적용하는 방법을 익히도록 합니다.

네, 안녕하세요. 11차 1강 6장 미분을 계속 알아보도록 하겠습니다.

y = axⁿ 의 미분을 구해 보는 거예요. 공식은 이렇게 나오는데, 이 공식이 어떻게 이렇게 나오는가를 한번

알아보도록 할게요. y = axⁿ 이라는 이 식을, 이 식을 이쪽으로 넘기면 ln y = 이렇게

쓸 수가 있겠네요. x = logₐy 라고 이렇게 쓸 수가 있을 거예요. 그렇죠?

양변에 dx를 취해 볼까요? dy/dx를 구해 볼 건데, y

는 xⁿ 이라고 이렇게 되어 있을 때, dx/dy를 구하라고

하면은, 얘는 이렇게 양변에 로그를 취해서 이 값을 구해서

일이 되죠. 어, 그럼 그런 것처럼 어구를 곡으로 그러니까 이런 식으로

수 있자요. 즉, dy/dx에 대해서 x에 대해 미분하자는 얘기에요.

로그 함수 미분 어떻게 됐었죠? 로그의 뒤에 있는 요소와 밑에 있는 것

분모로 잡아 빼고, 그 다음에 미분하는 걸 이렇게 된다라고 했어요.

그 다음에 로그 a에 밑 a로 이렇게 우리가 쓸 수 있으면 되는 거죠.

그러므로 dy/dx이고, y를 미분하면 1이니까 1,

여기 xⁿ 분의 1인 것처럼, 그걸 미분하면 1이에요.

다음에 로그 a a 이렇게 쓰면 되죠. 물론 이 y는 지금 axⁿ 이니까, e^(axⁿ)을 axⁿ 승을 여기다 그냥 바로

대입해서 되는데, 곧 있으면 좀 더 많이 이걸 쓰는 게 귀찮음. 술 더 길어질 것 같아서

일단 이렇게 놓고 쓸게요. dy/dx = by/tx 이렇게 쓸 수가 있지.

또 실제 dg를 보면 dx dy가 되니까, 요것이 그런데 di/dx 이렇게 놨으며, 그래서 얘가 따라서

들어가면 2분의 로그 a에 1을 쓸 수가 있는 것이고, 다음에 이런 식으로 써주면 되겠죠.

뒤집으면 쏙 뒤집히고, 얘는 로그 2a에

이에 2분의 1이라고 쓸 수 있겠지. 2배 로그의 이라는 건 log 9

3에 9라고 되어 있는 것은 log 9의 3분의 1 이렇게 써도 되는 거야. 그렇지? 로그 감소에 이제 성질

되었어요. 그것처럼 밑변환을 하면 이건 4는 3의 제곱이니까요, 좌변환을

위해서 2가 된 얘기에 있어 이루어지는 것은 이까. 여기는

로그 3의 3은 1이니까 이게 나와. 여기도 보면은 로그 9라는 위기는 log 9

3의 제곱의 3이라는 얘기야. 요기에 있는 이는 앞으로 잡아 빼면 2로, 아니 저 2로 스스로

있는 것이지. 이렇게 2분의 a로 쓸 수 있는 거지. 그렇게 해서 로그 3에

3이 되는 것이고, 여기 분자가 이렇게 있는 거니까

이렇게 1 해가지고 이 값을 얘는 1이 되는 거고, 넘기니까 이 해가지고

너무 16에 나온 거 하고 여기 이 나오고 같은 거야. 저런 예를 든

이유는 여기 로그의 미분이라는 것은 이렇게 쓸 수 있다라는 얘기에요.

로그 x의 a분의 1을 이렇게 쓸 수 있다라는 겁니다. 그래서 이렇게

있어요. 좀 되겠지? 그럼 이거 뒤집으면 이제 어떻게 될까요? 와인과 2에 로그

x의 a승에 있는 것이지. 그런데 우리 상용로그처럼 로그

10의 x라고 이렇게 되면,  밑이 10인 경우에는 이거 생략해 가지고 log x라고 이렇게 보통 저희가 쓰죠.

보통이라고 얘기하고, 자연로그의 경우에는 로그 e의 x 이렇게 쓰면, 언어는 로그 이거 다

쓰기 싫어 가지고 ln x로 쓰지. 이걸 자연로그라고 얘기하는

것으로 쓰죠. 그래서 ln x 이렇게 쓰는 거였어요. 여기도 마찬가지로 로그 x의 a승이니까

예를 갖다가 어떻게 하겠습니까? 그렇지. ln a로 쓰면 돼요. 자, 그런데 여기에 a라는 값이 보실 뭐래요?

ax죠. 그래서 ax의 d/dx 며, 미분하면 ax승이 되는

a를 가지고 d/dx 앞에 by 곱해주면 ax승의 ln a가 된다라는 것을 우리가 알 수 있겠다라는 겁니다.

지수함수와 로그함수 미분을 이렇게 표로 우리 교재에 만드는 원고를

캡쳐했어요. 그러니까 요런 것도 여러분들 참고를 하면 되겠습니다. 미분에서 경험을 이렇게 다

된다는 거 참고하면 되겠습니다. 자, 와인은 OSP, SO 액수를 미분하라고 하네요.

G2 스푼에서 위에 있는 거 앞으로 잡아빼면서 OX 잡아빼면 섬이

분하고 이 스푼에서 OX 이렇게 그대로 쓰는데 줘.

OSB 분한 뭐 루시오 스프, ROX 잃기 쓰라고 하는 겁니다. 이게

답이에요. 다음 사이비 XB 분 아래 Y 미분하면 쌓인 뒤에 있는 거 뭐라고

앞으로 잡아빼면서 미분하면서 쌓이는 뭐로 바꿔줘.

그렇지, 코사인을 바꿔주면서 뒤에 있는 그대로 쓰더라구요.

그러므로 EX 비분하면 이 코사인 X 이렇게 미분 값 나아지게 따라

는 겁니다. 다음 고석사 굶겨, 9YB 불하면 미분하면

오서 주고 쌓인 뒤에 있는 게 뭐야? 오메가 T, 오메가 T를 앞으로 잡아

빼면 섬 2분하고 예문 쌓이는 코사인으로 바꿔주면서 뒤에 있는 거고

대로 쓰라고 있어. 이렇게. 그러므로 얘는 칩이 앉은 B 부분이구요. XB 암이 분이 아니라 지분의 D

와 1 구하라는 것이라. 그러므로 E, T에 대해서 미분, 1.

얘는 몸 안 마, 뭐 그렇지. 여기는 오메가 만남, 내는 앞에 5 있으니까

오메가의 코사인 오메가 T다 라고 이렇게 미분하면 되겠습니다.

다음 쌓인 x의 조미분을 구하는데요. e는 어… 근데 요거 한번 이렇게 뜻을

수가 있겠죠. 와인은 쌓인 x의 제곱이라고 쓰면 사인 x (x)

라고 이렇게 써도 되는 거예요. 그렇죠? 즉, 예를 들어 이런 얘기네요. 그러므로 i를

미분하면 f 프라임 x는 이걸 빼고 그 다음에 쌓인 ex 해주고

2 - 1승 해주고 그리고요 괄호 안에 있는 곱을 미분하라고 했어요.

2 사인 x - 1은 1이야. 그 친구를 보안 쏘듯이 줘. 쌓인 x를 주면

되고 그 다음에 사인 x는 뭐 뭐가 될까?

코사인 x죠. 그래서 이렇게 2 곱하기 2 코사인 x로 이렇게

쓰면 되겠습니다. 4 다음 마찬가지로 얘는 이렇게 쓸 수 있죠. 와 임을 해서 쌓인 4 맥스

해놓고 이거에 최고 미분을 그렇게 쓰면 되는 거야. 그렇죠?

예를 들어 미분하라고 하면 아이 미분하러 가면 이 앞으로 쳐야겠죠?

그 다음에 쌓인 4 맥스 그 다음에 2 - 1을 해봐야 이때 기울기를 해

봐야 됩니다. 안 써도 되는 벌써 올해 초

그 다음에 쌓임 3x의 1 제곱 이렇게 하면 되겠죠.

그러므로 2배의 3x에다가 201, 아니 3, 4인 3x 쌓인

사인을 미분하려다 보니 여기 앞에 있으니까 4를 앞으로 잡아빼고

미분하고 사인을 코사인으로 바꿔주면서 코사인 뒤에 있는 3x는 그대로 써주면

되겠죠. 그래서 2배의 쌓인 3x에 3을 미분한 3,

그러니까 3 이렇게 쓸게요. 곱하기 쓰려다 보니 서고 거보다 야 과로로

치면 되겠죠. 코사인 3x에 있어 3하고 이해하고 곱하는 거니까

그래서 6사인 3x 곱하기 코사인 3x가 되겠다는 겁니다.

쌓인 3x, 4쌓인 3x 이렇게 나와주겠어요.

다음 역삼각함수의 미분을 알아보도록 할게요.

이렇게 나와있는 것도 한번 이렇게 뒤집어 볼게요. 그럼 얘는 이렇게 넘기면

그러므로 dy/dx를 구해볼래요. dy/dx

그러면 y를 미분하면 1이죠. 그러면 쌓인 뒤에 있는 거 앞으로 잡아

빼면서 미분하고 쌓인은 뭐로 바꿔줘?

코사인으로 바꿔 주면서 어, 뒤에 dy 그대로 써 주면 되겠네

y 미분해 봐야 1이잖아요. 자체 그래서 cos y가 되는 것이 이렇게

그렇죠. 우리가 구하려 하는 것은 g(x) 분의 dy/dx를 구하는 게 목적이었죠.

그래서 dx/dy는 dy/dx의 역수이죠.

그러므로 여기에 대입해 주면 cos y * 1/2이네. cos y 보면

1이야. 근데 cos y는 뭘까요? 지금 이 시점에서 cos y는 x라는 2시

그러면 우리가 삼각형을 그릴 수 있을 거예요.

요렇게 삼각형을 그리면 안에 있는 요 각도가 y, 여기가 x

이란 얘기야. cos y가 x란 얘기는 빗변 분의 높이니까

여기가 1이고 여기가 x면, cos y는 x라는 이러한 식이 나오죠.

이렇게 삼각형을 그릴 수 있겠네. 그렇죠?

그러므로 빗변의 길이는 뭐가 되겠어요?

공업수학 미분 (12주 1강)-신승식

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복두TV

y = axⁿ 의 미분 공식 설명 및 유도 과정 시작

로그를 이용한 식 변형 (ln y = ...)

양변에 dx를 취하여 dy/dx 구하기

상용로그와 자연로그의 표기법 비교 (log x, ln x)

지수함수와 로그함수 미분 표 참고 설명

다양한 함수 미분 문제 풀이 시작