Last video, I talked about the dot product, showing both the standard introduction to the topic, as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

I'd like to do the same thing for cross products, which also have a standard introduction, along with a deeper understanding in the light of linear transformations.

But this time, I'm dividing it into two separate videos. Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product, and in the next video, I'll be showing a view which is less commonly taught, but really satisfying when you learn it.

We'll start in two dimensions. If you have two vectors, v and w, think about the parallelogram that they span out.

What I mean by that is that if you take a copy of v and move its tail to the tip of w, and you take a copy of w and move its tail to the tip of v, the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

The cross product of v and w, written with the x-shaped multiplication symbol, is the area of this parallelogram.

Well, almost. We also need to consider orientation. Basically, if v is on the right of w, then v cross w is positive and equal to the area of the parallelogram.

But if v is on the left of w, then the cross product is negative, namely the negative area of that parallelogram.

Notice this means that order matters. If you swapped v and w, instead taking w cross v, the cross product would become the negative of whatever it was before.

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order, i-hat cross j-hat, the result should be positive.

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

So since i-hat is on the right of j-hat, I remember that v cross w has to be positive whenever v is on the right of w.

So for example, with the vectors shown here, I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

And since v is on the left of w, the cross product should be negative. So v cross w is negative seven.

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area. This is where the determinant comes in.

So if you didn't see chapter five of this series, where I talk about the determinant, now would be a really good time to go take a look.

Even if you did see it, but it was a while ago, I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind.

For the 2D cross product, v cross w, what you do is you write the coordinates of v as the first column of a matrix, and you take the coordinates of w and make them the second column, then you just compute the determinant.

This is because a matrix whose columns represent v and w corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to v and w.

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation, and the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

After the transformation, that square gets turned into the parallelogram that we care about.

So the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, gives the area of this parallelogram, since it evolved from a square that started with area one.

What's more, if v is on the left of w, it means that orientation was flipped during that transformation, which is what it means for the determinant to be negative.

As an example, let's say v has coordinates negative 3, 1, and w has coordinates 2, 1.

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative 3 times 1 minus 2 times 1, which is negative 5.

So evidently, the area of the parallelogram they define is 5, and since v is on the left of w, it should make sense that this value is negative.

As with any new operation you learn, I'd recommend playing around with this notion a bit in your head, just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about.

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular, or at least close to being perpendicular, their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, perhaps multiplying v by 3, then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of 3.

So what this means for the operation is that 3v cross w will be exactly 3 times the value of v cross w.

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, what I just described is technically not the cross product.

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector. Just as before, we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together, and the area of this parallelogram is still going to play a big role.

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. But as I said, the cross product is not a number, it's a vector.

This new vector's length will be the area of that parallelogram, which in this case is 2.5, and the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

But which way, right? I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

This is where the right-hand rule comes in. Point the forefinger of your right hand in the direction of v, then stick out your middle finger in the direction of w.

Then, when you point up your thumb, that's the direction of the cross product.

For example, let's say that v was a vector with length 2 pointing straight up in the z direction, and w is a vector with length 2 pointing in the pure y direction.

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square, since they're perpendicular and have the same length, and the area of that square is 4.

So their cross product should be a vector with length 4. Using the right-hand rule, their cross product should point in the negative x direction.

So the cross product of these two vectors is negative 4 times i-hat. For more general computations, there is a formula that you could memorize if you wanted, but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

Now, this process looks truly strange at first.

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of v and w. But for that first column, you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

Then you compute the determinant of this matrix. The silliness is probably clear here. What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix?

Students are often told that this is just a notational trick. When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, then you get some linear combination of those basis vectors.

And the vector defined by that linear combination, students are told to just believe, is the unique vector perpendicular to v and w, whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram, and whose direction obeys the right-hand rule.

And sure, in some sense this is just a notational trick, but there is a reason for doing it. It's not just a coincidence that the determinant is once again important.

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do. To understand where all of this comes from, it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

This concept is a little bit heavy though, so I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra.

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents. So if you want to skip that next video, feel free.

But for those of you who are willing to go a bit deeper, and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

Cross products | Chapter 10, Essence of linear algebra

My name is Grant Sanderson. Videos here cover a variety of topics in math, or adjacent fields like physics and CS, all with an emphasis on visualizing the core ideas. The goal is to use animation to help elucidate and motivate otherwise tricky topics, and for difficult problems to be made simple with changes in perspective.

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3Blue1Brown

2D 벡터의 외적은 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같으며, v가 w의 오른쪽에 있으면 양수, 왼쪽에 있으면 음수가 됩니다.

3D 벡터의 외적은 두 벡터가 이루는 평행사변형에 수직인 새로운 3D 벡터이며, 그 크기는 평행사변형의 넓이와 같고 방향은 오른손 법칙에 따릅니다.

외적을 계산하기 위해 2D에서는 두 벡터 좌표로 구성된 행렬의 행렬식을 사용하고, 3D에서는 기저 벡터와 두 벡터의 좌표를 포함하는 '형식적인' 3x3 행렬의 행렬식 계산 방식을 사용합니다.

이번 비디오에서는 외적에 대해 다룰 것이며, **표준적인 소개와 함께 선형 변환 관점에서 더 깊은 이해를 제시**할 것입니다. 2차원에서 두 벡터 v와 w가 있을 때, 이들이 이루는 평행사변형의 면적을 생각할 수 있습니다. 외적 v x w는 이 평행사변형의 면적과 관련이 있습니다.

외적은 단순히 면적뿐만 아니라 '방향'을 고려합니다. **v가 w의 오른쪽에 있으면 외적은 양의 값**을 가지며 평행사변형의 면적과 같습니다. 반대로 v가 w의 왼쪽에 있으면 외적은 음의 값을 가집니다. 이는 외적 계산에서 벡터의 순서가 중요하다는 것을 의미합니다.

2D 외적 v x w를 계산하기 위해서는 행렬식을 활용합니다. **v의 좌표를 행렬의 첫 번째 열로, w의 좌표를 두 번째 열로** 하여 행렬식을 계산하면 됩니다. 이는 행렬식이 선형 변환으로 인한 면적 변화를 측정하기 때문에 가능합니다.

예를 들어, v가 (-3, 1)이고 w가 (2, 1)일 때, 해당 행렬의 행렬식은 -5입니다. 이는 평행사변형의 면적이 5이고, **v가 w의 왼쪽에 있으므로 값이 음수가 되는 것**이 이치에 맞음을 보여줍니다. 외적은 두 벡터가 직교할수록, 또는 벡터의 크기가 커질수록 평행사변형의 면적이 커져 외적 값이 커지는 경향이 있습니다.

진정한 의미의 외적은 두 3차원 벡터를 결합하여 새로운 3차원 벡터를 생성하는 연산입니다. 여전히 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적이 중요한 역할을 하지만, **외적의 결과는 스칼라(면적)가 아닌 벡터**입니다. 이 새로운 벡터의 길이는 평행사변형의 면적과 같으며, 방향은 평행사변형에 수직입니다.

평면에 수직인 방향은 두 가지가 있을 수 있으므로, **어떤 방향인지를 결정하기 위해 '오른손 법칙'을 사용**합니다. 오른손 검지를 v 방향으로, 중지를 w 방향으로 향하게 했을 때 엄지가 가리키는 방향이 외적 벡터의 방향이 됩니다. 예를 들어, z 방향의 벡터와 y 방향의 벡터의 외적은 음의 x 방향을 가리킵니다.

3차원 외적을 계산하는 방법은 다소 특이해 보일 수 있습니다. 3D 행렬을 구성하는데, 두 번째와 세 번째 열에는 v와 w의 좌표를 넣고, 첫 번째 열에는 **기저 벡터인 i-hat, j-hat, k-hat을 넣은 다음 이 행렬의 행렬식을 계산**합니다. 이는 단순히 표기상의 트릭으로 여겨지곤 합니다.

이러한 계산 방식은 단순한 트릭을 넘어선 이유가 있습니다. 행렬식이 다시 한번 중요하게 등장하고 기저 벡터를 넣는 것이 우연이 아닙니다. 이 모든 것의 근원을 이해하려면 이전 비디오에서 소개했던 '이중성(duality)' 개념이 도움이 되지만, 이는 더 심화된 내용입니다. 여기서 **중요한 것은 외적 벡터가 기하학적으로 무엇을 나타내는지 아는 것**입니다.

2차원 외적에서 순서가 결과의 부호에 어떤 영향을 미치는지 설명해 주세요.

2차원에서 두 벡터의 외적을 계산할 때 행렬식이 중요한 이유는 무엇인가요?

3차원 외적에서 새로운 벡터의 길이와 방향은 어떻게 결정되나요?

3차원 외적을 계산하기 위해 기저 벡터(i-hat, j-hat, k-hat)를 포함하는 행렬식을 사용하는 방법과 그 의미는 무엇인가요?

지난 영상에서는 점곱에 대해 이야기하면서 주제에 대한 표준적인 소개와 선형 변환과의 관계에 대한 더 깊은 관점을 보여드렸습니다.

외적에 대해서도 똑같이 해보고 싶습니다. 외적도 표준적인 소개와 선형 변환의 관점에서 더 깊은 이해를 할 수 있습니다.

하지만 이번에는 두 개의 개별 영상으로 나누겠습니다. 여기서는 학생들이 일반적으로 외적에 대해 배우는 주요 내용을 다루고 다음 영상에서는 일반적으로 가르치지 않지만 배우면 정말 만족스러운 관점을 보여드리겠습니다.

2차원에서 시작하겠습니다. 두 벡터 v와 w가 있을 때 이들이 펼치는 평행사변형을 생각해 보세요.

제가 의미하는 바는 v의 복사본을 가져와서 꼬리를 w의 끝으로 이동하고 w의 복사본을 가져와서 꼬리를 v의 끝으로 이동하면 화면에 있는 네 개의 벡터가 특정 평행사변형을 둘러싸게 됩니다.

v와 w의 외적은 x자 모양의 곱셈 기호로 쓰며 이 평행사변형의 면적입니다.

거의 그렇습니다. 방향도 고려해야 합니다. 기본적으로 v가 w의 오른쪽에 있으면 v cross w는 양수이고 평행사변형의 면적과 같습니다.

하지만 v가 w의 왼쪽에 있으면 외적은 음수, 즉 해당 평행사변형의 음수 면적이 됩니다.

이는 순서가 중요하다는 것을 의미합니다. v와 w를 바꾸어 w cross v를 취하면 외적은 이전 값의 음수가 됩니다.

여기서 순서를 기억하는 방법은 두 기저 벡터의 외적을 순서대로 취할 때, 즉 i-hat cross j-hat을 취할 때 결과가 양수여야 한다는 것입니다.

사실 기저 벡터의 순서가 방향을 정의합니다.

따라서 i-hat이 j-hat의 오른쪽에 있으므로 v가 w의 오른쪽에 있을 때마다 v cross w가 양수여야 한다는 것을 기억합니다.

예를 들어 여기에 표시된 벡터의 경우 해당 평행사변형의 면적이 7이라고 말씀드리겠습니다.

그리고 v가 w의 왼쪽에 있으므로 외적은 음수여야 합니다. 따라서 v cross w는 음수 7입니다.

하지만 물론 누군가가 면적을 알려주지 않아도 계산할 수 있기를 원할 것입니다. 여기서 행렬식이 등장합니다.

그러니 이 시리즈의 5장을 보지 않으셨다면, 제가 행렬식을 이야기하는 부분인데, 지금 가서 한번 보시는 것이 좋을 것 같습니다.

이미 보셨더라도 시간이 좀 지났다면 다시 한번 보시고 그 아이디어를 다시 한번 상기하시는 것이 좋습니다.

2D 외적, v cross w의 경우, v의 좌표를 행렬의 첫 번째 열로 쓰고, w의 좌표를 가져와서 두 번째 열로 만듭니다. 그런 다음 행렬식을 계산하면 됩니다.

이는 열이 v와 w를 나타내는 행렬이 기저 벡터 i-hat과 j-hat을 v와 w로 이동시키는 선형 변환에 해당하기 때문입니다.

행렬식은 변환으로 인해 영역이 어떻게 변하는지 측정하는 것이 전부이며, 우리가 보는 원형 영역은 i-hat과 j-hat에 놓인 단위 정사각형입니다.

변환 후 해당 정사각형은 우리가 신경 쓰는 평행사변형으로 바뀝니다.

따라서 일반적으로 영역이 변경되는 비율을 측정하는 행렬식은 면적이 1인 정사각형에서 진화했기 때문에 이 평행사변형의 면적을 제공합니다.

게다가 v가 w의 왼쪽에 있으면 해당 변환 중에 방향이 뒤집혔다는 의미이며, 이는 행렬식이 음수라는 의미입니다.

예를 들어 v의 좌표가 음수 3, 1이고 w의 좌표가 2, 1이라고 가정해 보겠습니다.

해당 좌표를 열로 갖는 행렬의 행렬식은 음수 3 곱하기 1 빼기 2 곱하기 1이며, 이는 음수 5입니다.

따라서 분명히 그들이 정의하는 평행사변형의 면적은 5이고 v가 w의 왼쪽에 있으므로 이 값이 음수라는 것이 합리적입니다.

새로운 연산을 배울 때마다 이 개념을 가지고 약간의 직관적인 느낌을 얻기 위해 머릿속으로 약간만 가지고 놀아보는 것이 좋습니다.

예를 들어 두 벡터가 수직이거나 적어도 수직에 가까울 때 해당 평행사변형의 면적이 더 크기 때문에 교차가 매우 유사한 방향으로 가리키는 경우보다 교차가 더 크다는 것을 알 수 있습니다.

또 하나 주목할 점은, 벡터 중 하나를 스케일업하는 경우, 예를 들어 v에 3을 곱하면 평행사변형의 넓이도 3배로 스케일업된다는 것입니다.

따라서 이 연산의 의미는 3v cross w는 v cross w 값의 정확히 3배가 된다는 것입니다.

지금까지 설명한 내용은 훌륭한 수학적 연산이지만, 엄밀히 말하면 외적이라고 할 수 없습니다.

진정한 외적은 서로 다른 두 3D 벡터를 결합하여 새로운 3D 벡터를 얻는 것입니다. 이전과 마찬가지로, 함께 교차하는 두 벡터로 정의된 평행사변형을 계속 고려할 것이고, 이 평행사변형의 넓이는 여전히 중요한 역할을 할 것입니다.

구체적으로 예를 들어, 여기에 표시된 벡터의 넓이가 2.5라고 가정해 보겠습니다. 하지만 말씀드린 것처럼 외적은 숫자가 아니라 벡터입니다.

이 새로운 벡터의 길이는 해당 평행사변형의 넓이가 되며, 이 경우 2.5입니다. 그리고 이 새로운 벡터의 방향은 평행사변형에 수직이 됩니다.

어느 방향일까요? 제 말은, 주어진 평면에 수직인 길이가 2.5인 벡터는 두 개가 있을 수 있다는 뜻입니다.

여기서 오른손 법칙이 등장합니다. 오른손 검지를 v 방향으로 향하게 하고, 중지를 w 방향으로 향하게 합니다.

그런 다음 엄지손가락을 위로 향하게 하면 외적의 방향이 됩니다.

예를 들어 v가 z 방향으로 똑바로 향하는 길이가 2인 벡터이고, w가 순수한 y 방향으로 향하는 길이가 2인 벡터라고 가정해 보겠습니다.

이 간단한 예에서 이들이 정의하는 평행사변형은 실제로 정사각형입니다. 왜냐하면 이들은 수직이고 길이가 같기 때문입니다. 그리고 그 정사각형의 넓이는 4입니다.

따라서 이들의 외적은 길이가 4인 벡터여야 합니다. 오른손 법칙을 사용하면 이들의 외적은 음의 x 방향을 가리켜야 합니다.

따라서 이 두 벡터의 외적은 음의 4 곱하기 i-hat입니다. 더 일반적인 계산을 위해 원한다면 암기할 수 있는 공식이 있지만, 대신 3D 행렬식을 사용하는 특정 프로세스를 기억하는 것이 일반적이고 더 쉽습니다.

이제 이 과정은 처음에는 정말 이상해 보입니다.

3차원 행렬을 적는데, 두 번째와 세 번째 열에는 v와 w의 좌표가 들어가고, 첫 번째 열에는 기저 벡터 i-hat, j-hat, k-hat을 적습니다.

그런 다음 이 행렬의 행렬식을 계산합니다. 여기서 어리석음이 분명히 드러날 겁니다. 벡터를 행렬의 항목으로 넣는다는 게 대체 무슨 의미일까요?

학생들은 흔히 이것이 그저 표기법상의 속임수라고 배웁니다. i-hat, j-hat, k-hat이 숫자라고 가정하고 계산을 수행하면 해당 기저 벡터의 선형 결합이 됩니다.

그리고 그 선형 결합으로 정의되는 벡터는 v와 w에 수직인 유일한 벡터이고, 그 크기는 해당 평행사변형의 면적이며, 그 방향은 오른손 법칙을 따른다고 학생들은 믿으라고 배웁니다.

어떤 의미에서는 이것이 그저 표기법상의 속임수일 뿐이지만, 그렇게 하는 이유가 있습니다. 행렬식이 다시 한번 중요하다는 것은 단순한 우연이 아닙니다.

그리고 기저 벡터를 해당 슬롯에 넣는 것은 무작위적인 행동이 아닙니다. 이 모든 것이 어디에서 왔는지 이해하려면 지난 영상에서 소개한 쌍대성 개념을 사용하는 것이 도움이 됩니다.

이 개념은 약간 무겁기 때문에 더 자세히 알고 싶은 분들을 위해 별도의 후속 영상으로 제공하겠습니다.

어쩌면 선형 대수의 본질에서 벗어나는 내용일 수도 있습니다.

여기서 중요한 부분은 그 외적 벡터가 기하학적으로 무엇을 나타내는지 아는 것입니다. 그러니 다음 영상을 건너뛰고 싶다면 자유롭게 건너뛰세요.

하지만 좀 더 깊이 들어가고 싶고, 이 계산과 기저 기하학 사이의 연관성이 궁금한 분들에게는 다음 영상에서 이야기할 아이디어가 정말 멋진 수학 조각이 될 것입니다.

외적은 표준적인 소개와 선형 변환 관점의 깊은 이해를 모두 제공할 수 있습니다.

이 영상은 일반적인 외적 내용을 다루고, 다음 영상에서는 더 심층적인 관점을 제시합니다.

두 벡터 v와 w가 그리는 평행사변형을 상상합니다.

v와 w의 외적(v cross w)은 기본적으로 이 평행사변형의 면적을 의미합니다.

방향성도 중요합니다. v가 w의 오른쪽에 있으면 양수 면적, 왼쪽에 있으면 음수 면적입니다.

순서가 중요하며, w cross v는 v cross w의 음수 값입니다.

기저 벡터(i-hat cross j-hat)의 순서가 양의 방향을 정의합니다.

예시: 면적이 7이고 v가 w의 왼쪽에 있으면 외적은 -7입니다.

행렬식을 이용한 2차원 외적 계산

행렬식 개념에 익숙하지 않다면 이 시리즈의 5장을 먼저 시청하는 것이 좋습니다.

v와 w의 좌표를 각각 행렬의 열로 사용하여 행렬식을 계산합니다.

이는 기저 벡터를 v와 w로 변환하는 선형 변환의 행렬식으로, 영역이 어떻게 변하는지 측정합니다.

행렬식은 단위 정사각형이 변환 후 평행사변형이 되는 면적을 제공하며, 방향 뒤집힘은 음수 행렬식으로 나타납니다.

예시: v=(-3, 1), w=(2, 1)의 외적은 행렬식 계산 결과 -5입니다.

두 벡터가 수직일수록 평행사변형의 면적이 커지므로 외적 값도 커집니다.

한 벡터를 스케일업하면 평행사변형의 면적도 같은 비율로 스케일업됩니다 (예: 3v cross w는 v cross w의 3배).

진정한 외적은 두 3D 벡터를 결합하여 새로운 3D 벡터를 생성합니다.

새로운 벡터의 길이는 두 원래 벡터가 이루는 평행사변형의 면적입니다 (예: 면적이 2.5인 경우 길이 2.5).

새로운 벡터의 방향은 평행사변형에 수직입니다.

방향은 오른손 법칙으로 결정됩니다 (검지 v, 중지 w, 엄지 외적 방향).

예시: v(z방향 길이 2), w(y방향 길이 2)의 외적은 평행사변형 면적 4에 오른손 법칙을 적용하여 음의 x 방향을 가리키는 벡터(-4 * i-hat)입니다.

3차원 외적 계산을 위한 행렬식 활용

계산을 위해 기저 벡터(i-hat, j-hat, k-hat)를 첫 번째 열에, v와 w의 좌표를 나머지 열에 넣은 3D 행렬의 행렬식을 계산합니다.

학생들은 이 계산이 기저 벡터의 선형 결합으로 정의되는 벡터를 생성하며, 이 벡터는 v와 w에 수직이고, 크기는 평행사변형의 면적이며, 방향은 오른손 법칙을 따른다고 배웁니다.

3차원 외적 계산의 심층적 의미

이 계산 방식은 단순히 표기법상의 속임수가 아니며, 행렬식의 중요성과 기저 벡터의 배치에는 이유가 있습니다.

지난 영상에서 소개된 쌍대성 개념을 통해 더 깊이 이해할 수 있으며, 이는 후속 영상에서 다룰 예정입니다.

외적 벡터가 기하학적으로 무엇을 나타내는지 아는 것이 중요하며, 다음 영상에서는 이 계산과 기하학 간의 연관성에 대해 더 깊이 탐구할 것입니다.

Cross products | Chapter 10, Essence of linear algebra

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