벡터 함수와 스칼라 함수에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 먼저 스칼라 함수에서 말씀을 드리면, 어떤 변수들의 예를 들면 x, y, z 변수의 그 함수의 결과값이 하나의 단일값, 즉 f f 값으로 나오면 이것을 우리가 스칼라 함수라고 합니다.

이런 스칼라 함수를 각 성분별로 합쳐서, 즉 x 방향, y 방향, z 방향을 나타내는 단위 벡터인데요.

성분별로 합쳐서 합쳐져 가지고 벡터화되었을 때 이런 것을 우리가 벡터 함수라고 하고요.

이것을 원소별로 표현을 하면 이와 같이 원소로 나타낼 수가 있습니다.

그리고 R은 R1, R2, R3로 이루어져 있는 성분으로 이루어져 있는데, R1, R2, R3 이것도 결국은 내부적으로 보면 x, y, z 함수라는 것도 알 수가 있죠.

이러한 벡터 함수의 미분을 살펴보면, R이 RT 있는데 RT가 R1, R2, R3 성분으로 되어 있을 때 그것의 미분은 R 프라임은 각각의 하나씩은 전부 스칼라 함수인데요.

이 스칼라 함수를 각각 다 미분을 해서 각 성분별로 덧셈을 하면 그것이 벡터 함수의 미분 결과가 되겠습니다.

참고로 벡터 함수의 미분 법칙을 살펴보면은, U + V 미분은 U 미분 + V 미분이고, UV의 미분은 먼저 앞에 거를 미분하고 V + 앞에 놔두고 뒤에 것의 미분.

그리고 U 크로스 V의 전체 미분은 앞에 거 미분하고 크로스 V + U 그대로 가져오고 크로스 V 미분 이렇게 되겠습니다.

벡터 함수와 곡선과의 관계를 살펴보면 3차원 공간에서 곡선의 방정식은 이렇게 나타낼 수가 있습니다.

RT는 xti + ytj + gtk 이렇게 나타낼 수 있고, 이때 t는 매개 변수라고 하고 이 t 값이 값이 이렇게 쭉 변함으로 해 가지고 X 값, Y 값, G 값이 바뀌고 따라서 벡터 함수인 RT는 공간상에서 어떤 곡선을 이렇게 이루어 나가게 됩니다.

예를 들면 이쪽에 그림이 나와 있는 것처럼 어떤 공간상에 A라는 점이 있고 그 점의 위치 벡터는 a입니다.

여기서 A라는 점에서 어 B라는 벡터 방향으로 이렇게 직선을 점선으로 표시되어 있는데 직선을 묘사를 하고 싶으면 RT라고 하면 이것이 RT입니다.

자, RT라는 것은 시작점 a 벡터에다가 더하기 그리고 이것은 방향이죠.

방향에 매개변수 t를 곱해서 TB 더해주면 됩니다.

따라서 t가 0일 경우, t에 0을 넣어 보시면 a가 나오죠. 바로 이점이 되고 t 값이 양으로 쭉 값이 커지면 어 B 벡터만큼 더해지기 때문에 이렇게 올라가는 거죠.

그리고 t가 음수로 값이 커지면 이렇게 밑으로 쭉 내려가는 거죠.

그래서 결국은 RT가 어 바로 이 점선의 식을 나타낸다고 보면 되겠습니다.

또 두 번째 예로 원점을 중심으로 하는 XY 평면상에 존재하는 타원의 식을 보면 여러분 잘 알다시피 원이라는 것은 장축과 단축으로 이루어져 있고 이쪽 X, Y 있고 이렇게 타원이 어 이렇게 있으면은 어 장축은 길이가 a, 단축은 b.

그렇게 했을 때 여기에 있던 어떤 한 점, 한 점을 보겠습니다.

이 한 점이 (x, y)라고 하면 이 (x, y)를 나타내는 이것이 RT인데요.

이 RT는 이와 같이 나타납니다. RT 벡터는 a 코사인 TI + B sin TJ 이렇게 되고 이때 a 코사인 t를 x, b sin t를 y라고 합니다.

한번 t 값을 한번 넣어 보면요. 예를 들면 이 지점 같은 경우 x는 A고 y는 0이죠.

t에 0을 집어넣으면 t에 0을 집어넣으면 요것은 1이 되기 때문에 A 값이 나오죠.

그리고 요것은 t가 0일 때 0이니까 이것은 사라지게 되죠.

따라서 A가 확실하게 나오고 또 90도인 이 지점은 B가 나와야 되는데 90도를 넣어 버리면 이번에는 이게 0이 되고 이게 1이 되기 때문에 어 결국 B가 나오니까 이 식이 타원의 한 점을 나타내는 것을 알 수가 있죠.

따라서 a 코사인 t는 XT, B sin t는 YT인데 이것을 이렇게 정리를 할 수가 있고요.

그리고 삼각 함수의 법칙에 의해서 사인제곱 t + 코사인제곱 t 값이 1이죠.

따라서 이것을 이렇게 대입을 하면 바로 이런 식이 만들어지는데, 이게 우리가 잘 알고 있는 원식이 되는 것입니다.

만약에 a, b가 같다 그러면 바로 이 원이 됩니다.

그래서 이런 식이 됩니다. 그리고 어, 타원 나선, 어 타원 나선인 경우는 이제 이것 이외에 ctk를 대입을 하면 이것은 3차원 공간에서 이러한 3원 공간이 있을 때, xyz가 있을 때 이 식은 가지면 가질수록 높이가 K 이제 G 방향이니까 높이가 점점 올라가는 거죠.

따라서 이것은 이런 식의 타원 나선을 나타내는 식이 되겠습니다.

곡선의 접선에 대해서 살펴보면 어떤 곡선 상에서 있는 한 점 a가 있을 때 그것의 위치 벡터가 RT 합시다.

만약에 매개변수가 어만 이렇게 더 늘어나면 플러스가 되면 이 점이 이렇게 이동을 했겠죠.

선상에서 이 점의 위치 벡터는 우리가 RT + DT로 표현할 수가 있습니다.

이 두 개 사이의 간격, 즉 이동한 미소 거리를 dr이라고 우리가 표현을 하면은 RT + DT에서 RT를 빼면 됩니다.

어 만약에 우리가 dt가 거의 0으로 가면 그러면 바로 이 dr이라는 것은 이 곡선에 접하는 선이 되겠죠.

그래서 로 미분을 해서 dt분의 dr 하면 이걸 우리가 어 R 프라임 t 하고 접선 벡터라고 부릅니다.

어 이 접선 벡터의 그 크기가 1인 벡터를 우리가 단위 접선 벡터라고 하는데요.

그걸 U라고 하면 어 접선 벡터를 그것의 자기의 크기로 이렇게 나누어 주면 할 수 있습니다.

그리고 곡선을 따라서 곡선을 이렇게 쭉 따라서 한 점과 한 점 사이에 이 길이를 구하고 싶을 때 이런 방법을 사용합니다.

곡선의 길이는 어떻게 정의가 되냐면 어 이 곡선의 길이를 따라서 접하는 접선 벡터를 어 두 개를 어 닷 프로덕트를 하고 루트를 취합니다.

그러면 이것은 접선 벡터의 크기가 나오겠죠.

이 크기를 어 어떤 어떤 매개 변수 t0부터 어떤 t 특정한까지 이렇게 적분을 해 주면 바로 S라는 그 길이 함수가 나옵니다.

어 이를 만약에 매개변수로 미분을 하고 제곱을 해버리면 미분을 하고 제곱을 해버리면 이 안쪽에 있는 요것만 남게 되죠.

그래서 r't ⋅ r' 이렇게 되고 이것은 이렇게 표기할 수 있고 이때 우리가 위치 벡터 R을 성분별로 표현하면 이렇게 표현할 수가 있죠.

이것을 여기에 각각 대입을 이것을 풀어서 쓰면 이렇게 나옵니다.

(dt/dx)² + (dt/dy)² + (dt/dz)² 이렇게 나오고 이 양변에서 1/dt을 서로 없애 버리면 ds² = dx² + dy² + dz² 즉 이것은 dr⋅dr과 같습니다.

이 ds를 우리가 선소라고 합니다.

09장 벡터미분법 3 (벡터함수와 곡선) : 공업수학

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