이틀 전에 2024년 IMO 1번 문제 풀이 영상을 올려 보았는데요

결과가 나와서 살짝 공유드리고 시작해 보겠습니다. 올해는 미국 팀이 1등

했고요, 중국이 2등, 우리나라가 3등 했습니다. 자랑스러운 우리 대한민국

대표단 6명 학생들입니다. 다들 정말 수고 많았고요. 24년 결과가 이렇게

업데이트가 되었는데, 우리나라 3등이죠. 여섯 문제 각각에 7점씩 배점이 되어

있습니다. 만점이 42점이고요. 보통 첫째 날 마지막 문제인 3번과 둘째 날의

마지막 문제인 6번 문제가 어려운 편인데, 올해는 특이하게 우리나라

학생들이 5번 문제에 대한 성적이 좋지 않았습니다. 아쉽게도 한 명 빼고

모두 0점 기록했고요. 중국 학생들 성적도 보면 4번까지 준수한 성적이죠.

그리고 6번은 오히려 우리나라 학생들의 점수가 더 높습니다. 근데

5번 문제가 세 명이 7점, 그리고 세 명이 0점 혹은 1점이죠. 전통적으로

5번 문제는 중국 선수들 다 항상 만점이었어요. 이번에 1등 자리를 내준

이유도 사실 이 5번 문제가 큰 역할을 했다고 볼 수 있을 것 같고요. 올해

1등한 미국 학생들 점수를 보면 5번 문제에서 한 명 빼고 모두 만점을

기록했습니다. 자, 그래서 과연 이 5번 문제가 도대체 무슨 문제였기에 이렇게

나라별로 편차도 심하고 당락에 큰 영향을 주었을까요? 자, 문제 5번입니다.

게임이죠. 제일 위에서 아래까지 이동하는 게임이에요. 근데 괴물이 어디 있는지 알 수 없고, 그럼 우리가 이

게임을 플레이하기 위한 어떤 전략이 있겠죠. 그래서 재수가 좋으면 한 번만

해도 클리어할 수 있고, 운이 더럽게 없으면 계속 괴물을 만나면서 목숨을

계속 소비할 수도 있겠죠. 근데 아주 머리를 잘 쓰면 이 괴물들이 어디에

있건 상관없이 목숨의 개수를 최소한으로 쓰면서 게임을 클리어할 수

있는 그런 전략을 생각해 보라는 거죠. 자, 일단 문제가 여기까지 이해가

되셨으면 잠깐 영상을 멈추고 어떤 전략을 구사할 수 있을지 한번 고민해

보세요. 가장 작은 n이 무엇일지 추측도 한번 해 보고요. 자, 이렇게

문제를 보고 나니까 상당히 재밌는 문제인데, 우리나라 학생들이 왜 성적이

안 나왔고 미국 학생들이 조금 더 성적이 잘 나왔는지 어렴풋이 원인이

생각이 되긴 합니다. 뭐 제가 추측하는 게 100% 맞다고 할 수

없겠지만, 아무래도 우리나라 학생들은 전통적으로 올림피아드에서 많이

출제되는, 뭐 대수, 기하, 조합, 정수론, 해석학, 뭐 이런 정형화된 유형들을

공부하면서 뭐랄까요, 조금 더 자유로운 상상이나 생각보다는 출제되는 문제에

대해서 고득점을 맞기 위한 여러 가지
훈련을 하는 것 같아요. 그래서 이런

과거에 없었던 유형이라던지
패턴을 좀 깨는 문제들이 나오면

쉽게 접근하기 어려워하는 것 같은
생각이 듭니다. 중국 학생들도 비슷한

결이 아닐까라고 추측이 되고요.
그에 비해 뭐 미국을 비롯한 이런

서구권 국가들은 조금은 더 창의적이고
자유로운 생각들을 하는 게 약간 그

교육의 문화인 거 같아요. 사실 뭐가
정답이 있다 없다라는 것보다는 아시아

쪽에서는 단기간의 효율을 극대화시킬
수 있는 학습법이라든지 뭐 그런 게 이제

학원을 통해서 학생들이 훈련을
하는 거 같고, 미국은 좀 더 자유로운

환경에서 여러 가지 창의적인 생각을
하게 만드는 그런 영향이 있지 않을까

생각이 되기도 합니다. 그리고 이런
문제는 사실 게임 많이 해 본

친구들이 더 유리할 수 있을 것
같아요. 정말 탑 수준의 대치동에서

열심히 공부하는 학생들 보면 이런
형태의 게임을 할 시간이 있을까,

접해본 경험들이 있을까요? 사실 그렇게
많지 않을 것 같아요. 공부하는

학생들한테 게임을 하게 해도 되냐 안
되냐 뭐 이런 건 사실 민감한

주제이기도 하니까 여기서 제가 더
이상 언급하지는 않겠습니다. 자, 그럼

5번 문제를 한번 풀어 보죠. 자, 일단 이런 문제 보면 2024, 2023, 2022 이런 숫자들은 사실 뭐 4, 3, 2 같은 숫자들로 좀 작게 바꿔서 생각을 해도 논리에 큰 문제점은 없을 것 같아요. 그 작은 칸들에서 풀리면 사실 같은 논리로 큰 칸에도 확장을 할 수 있을 것 같다 생각이 들기도 합니다.

4 * 3이라고 치고 괴물 두 마리가 있다고 해 볼게요. 괴물은 요 세 칸 중에 하나 있고요, 요 세 칸 중에 하나 있겠죠. 모든 열에는 최대 하나밖에 없으니까, 뭐 예를 들어서 이렇게 이렇게 있을 수도 있겠고, 이렇게 이렇게 있을 수도 있겠고요, 뭐 이런 경우들이 있겠죠.

어디에 있는지는 모릅니다. 그럼 자, 터보가 2행으로 딱 가는 순간에 재수가 없으면 바로 거기서 괴물이랑 만나죠. 그래서 목숨 한 개를 잃습니다.

그래서 여기 있다는 건 이제 알았어요. 그러면 처음에 여기로 안 가고, 뭐 여기로 가거나 여기로 가거나 뭐 둘 중에 하나겠죠. 여기로 갔다고 해 보죠.

그때 또 재수 없으면 괴물을 바로 만나죠. 그래서 두 번째 목숨도 사실 재수가 없으면 그냥 만납니다. 그 번의 시도는 사실 두 번으로는 안 돼요.

2행에 첫발 들이는 순간 죽을 수 있고, 3행에 첫발 들이는 순간 죽을 수

있어요. 그거 뭐 어떻게 할 도리가 없는 겁니다. 그래서 적어도 n이

3보다는 크거나 같아야 돼요. 괴물의 위치 조합이 어떻게 되건 상관없이

클리어할 수 있으려면 적어도 세 번 이상의 시도는 주어져야 돼요. 자, 근데

여기서 요런 4 * 3에서 세 번의 시도로 충분한가? 자, 처음에 만약에

여기서 바로 목숨 하나를 잃었어요. 그러면 그걸 통해서 우리가 알 수

있는 건 아, 여기가 안전 지대구나. 왜냐면 한 행에는 괴물 하나밖에

없으니까요. 그리고 열에도 하나밖에 없으니까요. 밑으로도 다 안전 지대

구나, 이 사실 알 수 있죠. 근데 문제는 여기, 여기를 몰라요. 지금 요 보드에서는

둘 중에 하나는 있겠죠. 이 길이든 이 길이든 둘 중에 하나 시도해 보는

거예요. 뭐 실패하더라도 그다음 여기는 안전 지대가 되기 때문에 이렇게

가면은 세 번 만에 클리어한 게 되죠. 사이즈를 조금 키워 보죠. 여기를 6,

여기를 5. 괴물은 2, 3, 4, 5행의 하나씩 있다고 가정해 볼게요. 여기

안전 지대고, 여기가 안전 지대입니다. 자, 만약에 두 번째 행을 뒤져 봤는데

여기나 여기나 여기나, 셋 중에 하나에 걸렸어요. 요 끝에 말고요. 그냥 첫 번째

시도에서 두 번째 행의 괴물이 어딘가 하나 있을 텐데, 그게 어딘지를 그냥

쓱 찾아가는 겁니다. 첫 번째 목숨을 그걸로 그냥 소비하는 거예요. 그래서

위치를 알아냈어요. 그래서 만약에 여기, 여기, 여기 셋 중에 하나다라고 먼저

가정해 보죠. 그러면 문제가 되게 쉽게 세 번만에 풀리는 게 괴물이 있는 곳을

중심으로 이런 안전 지대가 형성이 되잖아요. 그러면 이 루트랑 이 루트 둘

중에 하나는 괴물을 안 만납니다. 여기, 여기에 동시에 있을 수 없으니까요.

그래서 세 번만에 클리어할 수 있어요. 그래서 사실 여기나 여기나 여기에서

괴물을 첫 시도에서 만난다고 하면 너무 좋은 겁니다. 바로 문제가 풀려요.

세 번만에 그냥 바로 게임을 클리어할 수 있어요. 문제는 여기나 여기서

괴물을 만날 때예요. 그때는 좀 생각이 필요합니다. 뭐 좌우 대칭이 사실

일반성을 잃지 않고 괴물이 여기 있다고 가정해도 됩니다. 그러면

요렇게 안전 지대가 되면서 나는 목숨을 지금 하나 썼죠. 여기, 여기

괴물하고 만나면서 목숨을 하나 썼어요. 자, 이제 두 번째 시도에서 요렇게

내려가서 여기까지를 다 쭉 서치해 보는 겁니다. 여기까지 서치해서 만약에

뭔가 괴물이 하나 나왔어요. 괴물이 지금 네 칸 중에 한 칸 있잖아요.

여기는 안전지대니까 괴물이 없고요. 네 칸 중에 한 칸 있는데

여기, 여기를 빼놓고서는 1번, 2번, 3번 중에 하나가 괴물이

나오면 또 쉽게 문제를 풀 수 있습니다. 만약에 괴물이 여기 있어요,

그러면 여기, 여기, 여기, 여기, 여기가 안전지대가 되죠. 그러면 세 번째

시도에서 이 루트를 따라가면 됩니다. 여기서 괴물이 발견돼도 마찬가지입니다.

여기가 안전지대가 되기 때문에 이 루트를 따라가면 돼요. 여기서 발견돼도

마찬가지겠죠. 여기가 안전지대라 이 루트를 따라가면 돼요. 그래서 두 번째

목숨에서, 만약에 여기까지 가보고 그 중간의 괴물을 만난다, 그러면 바로

그다음 시도에서 우리는 게임을 클리어할 수가 있습니다. 문제는

여기까지 왔는데도 불구하고 괴물을 못 만났다? 그럼 여전히 살아 있죠. 나는

두 번째 목숨인데 살아 있습니다. 여기까지 와서 지금 괴물을 못

만났다는 거는 이 세 번째 행에 괴물의 위치가 바로 여기라는 거예요. 모든

행에는 정확히 한 마리씩의 괴물이 있으니까요. 여기는 안전지대라서 없는

거 우리가 아니까, 여기에 괴물이 있는 걸 확실하게 알게 됩니다. 근데 그걸

우리는 목숨을 안 쓰고 알았어요. 여기서는 목숨 썼었고, 여기서는 안

쓰고도 지금 안전 상태예요. 자, 그러면 다시 우리 턴으로 왔던

길을 되돌아갑니다. 그래서 여기까지 가서 다시 또 내려가 봅니다. 내려가서

이번엔 여기랑 여기까지를 서치해 보는 거예요. 그래서 만약에 여기나 여기에

괴물이 발견된다면 두 번째 목숨을 쓰겠죠. 이번에는 또 여기

여기가 안전지대라는 걸 아니까 요렇게 내려와서 이렇게 가면

미국대표들은 풀었는데 한국대표들은 못 푼 문제

KAIST 수학과를 최우등 졸업,  프린스턴대에서 조합론, 그래프이론으로 박사를 했습니다.
제가 수학을 하면서 느꼈던 재미를 많은 분들에게 공유하고 싶습니다.

수학이 재미있었던 적이 있으신가요?
수학에는 게임처럼 재미를 느낄 수 있는 요소들이 많지만,
그런 요소들을 접하긴 쉽지 않은 것 같습니다.

수학을 잘하려면 수학의 재미를 느끼는 것보다 좋은 방법이 없습니다.
재미가 있으면 시키지 않아도 스스로 찾아서 하게 되고,
수학의 맛을 알수록 세상을 보는 관점, 세상을 해석하는 시야가 달라집니다.

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